Kompleksni brojevi

Nova tema  Odgovori 
Podelite temu sa drugarima: ZARADITE PRODAJOM SVOJIH RADOVA
 
Ocena teme:
  • 0 Glasova - 0 Prosečno
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
Autor Poruka
Vesnica Nije na vezi
Posting Freak
*****

Poruka: 2,567
Pridružen: May 2010
Poruka: #1
Kompleksni brojevi
Maturski, seminarski i diplomski radovi iz matematike.

Uobičajeno je mišljenje da su kompleksni brojevi uvedeni u matematiku da bi svaka kvadratna jednadžba imala rješenje (na primjer, jednadžba x2 + 1 = 0 nema realnih rješenja, a nakon uvođenja kompleksnih brojeva ima dva rješenja: i i -i). To se kasnije podupire još jačim argumentom da svaka algebarska jednadžba stupnja n ima točno n rješenja (uključujući kratnost). Na primjer, jednadžba x4 - 2x3 + 2x2 - 2x + 1 = 0 ima točno četiri rješenja: dvostruko rješenje 1 i jednostruka rješenja i, -i. To se obrazlaže rastavom na faktore: x4 - 2x3 + 2x2 - 2x + 1 = (x - 1)2 (x2 + 1) za svaki realni (odnosno kompleksni) broj x, odnosno rastavom x4 - 2x3 + 2x2 - 2x + 1 = (x - 1)2 (x - i) (x + i).
Ponekad se uvođenje kompleksnih brojeva obrazlaže Bézoutovim poučkom:
*Dvije algebarske krivulje reda m, odnosno n, sijeku se u točno mn točaka (računajući kratnosti i točke u beskonačnosti). *
Takav poučak ne bi vrijedio bez kompleksnih brojeva. Na primjer, pravac ne bi sjekao koniku u točno dvjema točkama i općenito krivulju reda n u n točaka. Na primjer, pravac s jednadžbom y = x + 2 ne siječe kružnicu s jednadžbom x2 + y2 = 1 (ako se razmatraju samo realne točke), međutim, siječe je u točkama
(-1 - √2 / 2 i, 1 - √2 / 2 i) i (-1 + √2 / 2 i, 1 + √2 / 2i).

Svi ovi (i neki drugi) razlozi matematičarima su dobar povod za uvođenje korijena od negativnih brojeva, a time i kompleksnih brojeva. Međutim, ni u jednome od njih kompleksni brojevi nisu bili nužni.
U vrijeme uvođenja kompleksnih brojeva u matematiku (u 16. stoljeću) kvadratna je jednadžba bila poznata više od 3000 godina. Stari su je matematičari već rješavali i znali su da može imati dva, jedno ili nijedno rješenje i to im je bilo dovoljno. Također se naslućivalo da algebarska jednadžba stupnja n ima najviše n rješenja (tu se misli samo na jednadžbu s realnim koeficijentima i samo na realna rješenja jer za druge nisu ni znali).
Razlogom za uvođenje kompleksnih brojeva mogao je biti samo matematički problem u kojemu se kompleksni brojevi nisu mogli zaobići, a takav se problem pojavio pri rješavanju kubne jednadžbe. O čemu je riječ ukratko ćemo govoriti u nastavku. Kako je poznato, svaka je kubna jednadžba ekvivalentna jednadžbi oblika x3 + ax2 + bx + c = 0 gdje su a,b,c realni brojevi (danas to mogu biti i kompleksni brojevi ili elementi nekog polja). S takvim su jednadžbama matematičari imali poteškoća više od 3000 godina dok ih u prvom dijelu 16. stoljeća nisu uspjeli "ukrotiti". Neke je od tih jednadžbi lako riješiti; primjerice jednadžba x3 - x = 0 ima rješenja 0, 1, -1. Slično je za svaku kubnu jednadžbu s racionalnim koeficijentima (tj. jednadžbu za koju je a, b, c ), koja ima bar jedno racionalno rješenje. Naime, kod takvih jednadžbi u pravilu je lako naći racionalno rješenje r = p / q; p,q . Nakon što jednadžbu pomnožimo sa zajedničkim višekratnikom svih koeficijenata, p mora dijeliti slobodni, a q vodeći koeficijent jednadžbe. Kako ima konačno takvih mogućnosti, načelno možemo doći i do one povoljne. Kad znademo racionalno rješenje r, onda dijeljenjem možemo doći do rastava: x3 + ax2 + bx + c = (x - r) (x2 + a'x + b') .

1. DEFINICIJA KOMPLEKSNOG BROJA

Carl Friedrich Gaus
-uvodi naziv kompleksan broj za a+ib
-koristio kompleksne brojeve u njegovom
ispravnom dokazu osnovnog teorema algebre 1797.
-godine 1831. godine je iznio razumljiv geometrijski prikaz od x+iy identificirajući to sa točkom (x,y) u koordinatnoj ravnini
-Koristi i za
-proučavao je kompleksne brojeve oblika a+ib , gdje su a i b cijeli, ili racionalni brojevi

U ovom dijelu definirat ćemo skup kompleksnih brojeva C, osnovne računske
operacije s kompleksnim brojevima i njihova svojstva, trigonometrijski oblik
kompleksnog broja i operacije s brojevima u trigonometrijskom obliku te
eksponencijalni oblik kompleksnog broja.

Definicija: Skup kompleksnih brojeva C je skup svih brojeva oblika z = x + iy, gdje su
x,y Î R. Posebno je 0 = 0 + i0. Realni broj x = Re z je realni dio kompleksnog broja
z, a realni broj y = Im z je imaginarni dio kompleksnog broja z.
Primjer jednadžbe:
+ 1 = 0

Po dogovoru, ta jednadžba (iako nema realnih rješenja jer bi to bio realan x koji kvadriran daje -1) ima dva rješenja u kompleksnim brojevima. To su i i -i1. Broj i zove se imaginarna jedinica. Dakle, definicija imaginarne jedinice je da je to broj i sa svojstvom =-1
Isto svojstvo ima i -i: (-i) = (-i)(-i) = =1 * (-1) = -1 tj. oba broja (i i-i)
su rješenja kvadratne jednadžbe + 1 = 0 (kao što su 1 i -1 rješenja kvadratne jednadžbe x2 - 1 = 0).


PORUČITE RAD NA OVOM LINKU >>> SEMINARSKI
maturski radovi seminarski radovi maturski seminarski maturski rad diplomski seminarski rad diplomski rad lektire maturalna radnja maturalni radovi skripte maturski radovi diplomski radovi izrada radova vesti studenti magistarski maturanti tutorijali referati lektire download citaonica master masteri master rad master radovi radovi seminarske seminarski seminarski rad seminarski radovi kvalitet kvalitetni fakultet fakulteti skola skole skolovanje titula univerzitet magistarski radovi

LAJKUJTE, POZOVITE 5 PRIJATELJA I OSTVARITE POPUST
09:03 PM
Poseti veb stranicu korisnika Pronađi sve korisnikove poruke Citiraj ovu poruku u odgovoru
Nova tema  Odgovori 


Verovatno povezane teme...
Tema: Autor Odgovora: Pregleda: zadnja poruka
  Kompleksni brojevi derrick 0 1,772 13-02-2014 03:11 PM
zadnja poruka: derrick
  Brojevi - metodike nastave matematike derrick 0 3,425 16-01-2013 03:00 PM
zadnja poruka: derrick
  Seminarski rad - Veliki brojevi erik_bananamen 0 1,585 14-05-2011 01:52 PM
zadnja poruka: erik_bananamen
  Kompleksni brojevi- maturski Dzemala 0 2,823 26-02-2011 08:18 PM
zadnja poruka: Dzemala
  Kompleksni brojevi- maturski Dzemala 0 2,820 19-02-2011 11:09 PM
zadnja poruka: Dzemala

Skoči na forum: