Gotovi Seminarski Diplomski Maturalni Master ili Magistarski
Kompleksni brojevi - Verzija za štampu

+- Gotovi Seminarski Diplomski Maturalni Master ili Magistarski (https://www.maturskiradovi.net/forum)
+-- Forum: Obrazovanje (/Forum-obrazovanje)
+--- Forum: Društvene nauke (/Forum-dru%C5%A1tvene-nauke)
+---- Forum: Matematika (/Forum-matematika)
+---- Tema: Kompleksni brojevi (/Thread-kompleksni-brojevi)


Kompleksni brojevi - Vesnica - 28-06-2010 09:03 PM

Maturski, seminarski i diplomski radovi iz matematike.

Uobičajeno je mišljenje da su kompleksni brojevi uvedeni u matematiku da bi svaka kvadratna jednadžba imala rješenje (na primjer, jednadžba x2 + 1 = 0 nema realnih rješenja, a nakon uvođenja kompleksnih brojeva ima dva rješenja: i i -i). To se kasnije podupire još jačim argumentom da svaka algebarska jednadžba stupnja n ima točno n rješenja (uključujući kratnost). Na primjer, jednadžba x4 - 2x3 + 2x2 - 2x + 1 = 0 ima točno četiri rješenja: dvostruko rješenje 1 i jednostruka rješenja i, -i. To se obrazlaže rastavom na faktore: x4 - 2x3 + 2x2 - 2x + 1 = (x - 1)2 (x2 + 1) za svaki realni (odnosno kompleksni) broj x, odnosno rastavom x4 - 2x3 + 2x2 - 2x + 1 = (x - 1)2 (x - i) (x + i).
Ponekad se uvođenje kompleksnih brojeva obrazlaže Bézoutovim poučkom:
*Dvije algebarske krivulje reda m, odnosno n, sijeku se u točno mn točaka (računajući kratnosti i točke u beskonačnosti). *
Takav poučak ne bi vrijedio bez kompleksnih brojeva. Na primjer, pravac ne bi sjekao koniku u točno dvjema točkama i općenito krivulju reda n u n točaka. Na primjer, pravac s jednadžbom y = x + 2 ne siječe kružnicu s jednadžbom x2 + y2 = 1 (ako se razmatraju samo realne točke), međutim, siječe je u točkama
(-1 - √2 / 2 i, 1 - √2 / 2 i) i (-1 + √2 / 2 i, 1 + √2 / 2i).

Svi ovi (i neki drugi) razlozi matematičarima su dobar povod za uvođenje korijena od negativnih brojeva, a time i kompleksnih brojeva. Međutim, ni u jednome od njih kompleksni brojevi nisu bili nužni.
U vrijeme uvođenja kompleksnih brojeva u matematiku (u 16. stoljeću) kvadratna je jednadžba bila poznata više od 3000 godina. Stari su je matematičari već rješavali i znali su da može imati dva, jedno ili nijedno rješenje i to im je bilo dovoljno. Također se naslućivalo da algebarska jednadžba stupnja n ima najviše n rješenja (tu se misli samo na jednadžbu s realnim koeficijentima i samo na realna rješenja jer za druge nisu ni znali).
Razlogom za uvođenje kompleksnih brojeva mogao je biti samo matematički problem u kojemu se kompleksni brojevi nisu mogli zaobići, a takav se problem pojavio pri rješavanju kubne jednadžbe. O čemu je riječ ukratko ćemo govoriti u nastavku. Kako je poznato, svaka je kubna jednadžba ekvivalentna jednadžbi oblika x3 + ax2 + bx + c = 0 gdje su a,b,c realni brojevi (danas to mogu biti i kompleksni brojevi ili elementi nekog polja). S takvim su jednadžbama matematičari imali poteškoća više od 3000 godina dok ih u prvom dijelu 16. stoljeća nisu uspjeli "ukrotiti". Neke je od tih jednadžbi lako riješiti; primjerice jednadžba x3 - x = 0 ima rješenja 0, 1, -1. Slično je za svaku kubnu jednadžbu s racionalnim koeficijentima (tj. jednadžbu za koju je a, b, c ), koja ima bar jedno racionalno rješenje. Naime, kod takvih jednadžbi u pravilu je lako naći racionalno rješenje r = p / q; p,q . Nakon što jednadžbu pomnožimo sa zajedničkim višekratnikom svih koeficijenata, p mora dijeliti slobodni, a q vodeći koeficijent jednadžbe. Kako ima konačno takvih mogućnosti, načelno možemo doći i do one povoljne. Kad znademo racionalno rješenje r, onda dijeljenjem možemo doći do rastava: x3 + ax2 + bx + c = (x - r) (x2 + a'x + b') .

1. DEFINICIJA KOMPLEKSNOG BROJA

Carl Friedrich Gaus
-uvodi naziv kompleksan broj za a+ib
-koristio kompleksne brojeve u njegovom
ispravnom dokazu osnovnog teorema algebre 1797.
-godine 1831. godine je iznio razumljiv geometrijski prikaz od x+iy identificirajući to sa točkom (x,y) u koordinatnoj ravnini
-Koristi i za
-proučavao je kompleksne brojeve oblika a+ib , gdje su a i b cijeli, ili racionalni brojevi

U ovom dijelu definirat ćemo skup kompleksnih brojeva C, osnovne računske
operacije s kompleksnim brojevima i njihova svojstva, trigonometrijski oblik
kompleksnog broja i operacije s brojevima u trigonometrijskom obliku te
eksponencijalni oblik kompleksnog broja.

Definicija: Skup kompleksnih brojeva C je skup svih brojeva oblika z = x + iy, gdje su
x,y Î R. Posebno je 0 = 0 + i0. Realni broj x = Re z je realni dio kompleksnog broja
z, a realni broj y = Im z je imaginarni dio kompleksnog broja z.
Primjer jednadžbe:
+ 1 = 0

Po dogovoru, ta jednadžba (iako nema realnih rješenja jer bi to bio realan x koji kvadriran daje -1) ima dva rješenja u kompleksnim brojevima. To su i i -i1. Broj i zove se imaginarna jedinica. Dakle, definicija imaginarne jedinice je da je to broj i sa svojstvom =-1
Isto svojstvo ima i -i: (-i) = (-i)(-i) = =1 * (-1) = -1 tj. oba broja (i i-i)
su rješenja kvadratne jednadžbe + 1 = 0 (kao što su 1 i -1 rješenja kvadratne jednadžbe x2 - 1 = 0).