Metode parcijalne integracije

Maturski, maturalni, seminarski, diplomski i master radovi iz matematike.

Kao i kod supstitucije, parcijalnom integracijom dati integral menjamo s odgovarajućim jednostavnijim integralom.

Parcijalna integracija se primenjuje ukoliko se u podintegralnoj funkciji nalazi produkt dve tzv. raznorodne funkcije (pr. jedna algebarska, a druga transcedentna), ili se nalazi jedna ili dve transcedentne funkcije, tako da nijedna supstitucija ne daje rezultat, tada obavezno primenjujemo parcijalnu integraciju.

Sama ideja parcijalne integracije sastoji se u tome da se produkt dve funkcije zameni s produktom od derivacije prve i integralom druge, ili obratno.

U kvantitativnim metodama, i generalno, u matematičkoj analizi, parcijalna integracija je pravilo koji transformiše integrale proizvoda funkcija je druge, verovatno jednostavnije integrale. Do ovog pravila dolazimo preko diferencijacije pravila derivacije proizvoda.

NEODREĐENI INTEGRAL

Primitivnom funkcijom funkcije f(x) naziva se funkcije F(x) čiji je prvi izvod jednak funkciji f(x), tj
F’(x)=f(x).
Na primer za funkciju y=2x, primitivna funkcija je F(x)=x2 jer je (x2)’ =2x.
Naravno, ako je F(x) primitivna funkcija funkcije f(x) onda je i (F(x)+C ) za bilo koju konstantu C, takođe primitivna funkcija funkcije f(x), jer važi implikacija
F(x)’=f(x) => (F(x)+C)’=f(x) jer je C’=0, gde je C bilo koja konstanta.
Šta više, važi sledeća teorema, koju nećemo dokazivati:
Teorema. Ako je F(x) primitvna funkcija funkcije f(x) u nekom intervalu (a,b) , tada su sve primitivne funkcije funkcije f(x) na tom intervalu oblika F(x)+C gde je C bilo koja konstanta.
Definicija. (neodređeni integral) Skup svih primitivnih funkcija neprekidne funkcije f(x) naziva se neodređeni integral funkcije f(x) i obeležava se simbolički a čita se “neodređeni integral ef od iks de iks”.
Izraz f(x)dx je podintegralni izraz, a f(x) je podintegralna funkcija.
Postupak nalaženja neodređenog integrala funkcija f(x) naziva se integracija funkcije f(x).