Matrice

Maturski, seminarski i diplomski radovi iz matematike.

U sistemu linearnih jednačina:
a11 x1 + a12 x2 + ∙ ∙ ∙ + a1 k x k + ∙ ∙ ∙ + a1 n x n = b1
a21 x1 + a22 x2 + ∙ ∙ ∙ + a2 k x k + ∙ ∙ ∙ + a2 n x n = b2 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ( 1 )
ai 1 x1 + a i2 x2 + ∙ ∙ ∙ + a i k x k + ∙ ∙ ∙ + a i n x n = bi
∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙
am1 x1 + am2 x2 + ∙ ∙ ∙ + am k x k + ∙ ∙ ∙ + am n xn = bm
ili kraće pisano :
n
∑ a i k x k = b1 ′ ( i = 1,2, . . . , m )
k=1
važnu ulogu igraju koeficijenti a i k .Skup svih koeficijenata a i k jednačina (1) napisanih u obliku sheme:
je matematički operator koji se naziva matrica i koji nema određenu numeričku vrijednost,već predstavlja određeni način pisanja elemenata nekog skupa.
Koeficijenti a i k ( i = 1,2, . . . , m ; k = 1,2, . . . n ) zovu se elementi matrice.
Elementi a i 1 , a i 2 , . . . a i n , ( i = 1,2,. . .,m) čine i-tu vrstu matrice.
Elementi a 1 k, a 2 k ,. . . , a m k ( k= 1,2,. . ., n) čine k-tu kolonu matrice.
Za matricu ( 2 ) kažemo da ima m vrsta i n kolona,da je tipa odnosno formata m x n .
Matrica ( 2 ) kraće se obilježava sa:
A = [ a i k ] ili A = || a i k || ili A = { a i k } ili A = ( a i k ).
Kada je m ≠ n matrica je pravougla.Na primjer,pravougle su sljedeće matrice:
A = 4 x 5 , B = 3 x 2
Kada je m = n matrica je kvadratna reda n.
Kvadratna matrica tipa 3 x 3 je :
C = 3 x 3.
Ako je matrica kvadratna tipa n x n,onda za elemente a11, a22,. . . , a nn kažemo da leže na glavnoj dijagonali.
Zbir elemenata kvadratne matrice,koji leže na glavnoj dijagonali,zove se trag matrice A,i označava se sa :
n
tr A = a11 + a22 + ∙ ∙ ∙ + a n n = ∑ a ii . i = 1
Dodamo li matrici kao ( n + 1 ) – u kolonu brojeve b1, b2 , . . . , b m , dobijamo proširenu matricu koeficijenata sistema jednačina ( 1 ) tj. :
[ A b ] =
Poznavanjem matrice [ A b ] mi smo u mogućnosti da sistem jednačina ( 1 ) odmah napišemo.

Vektor matrice

Svaka kolona matrice tipa m x n je matrica tipa m x 1 i zove se vektor-kolona ili matrica-kolona.
Vektor-kolone u okviru matričnog računa označavamo malim potrcanim slovom.Na primjer:
b =
Elementi b1,b2,. . . , bm nazivaju se komponente vektora,pa ako ih ima m govorimo o m-komponentnom vektoru.
Svaka vrsta matrice tipa m x n je matrica tipa 1 x n i zove se vektor vrsta ili matrica-vrsta.
Vektor vrstu,za razliku od vektor kolone,obilježavamo malim slovom sa viticom iznad njega.Na primjer :
ã = [ a 1 , a2 , . . . , a n ]
Matrica tipa 1 x 1 sastoji se samo od jednog elementa.Ona se obilježava sa [ a ].

Realne i kompleksne matrice

Kada su u matrici elementi realni brojevi,matrica je realna,a ako su joj elementi kompleksni brojevi,matrica je kompleksna.
Realne su,na primjer,matrice :
A = , B =
Kompleksna je,na primjer,matrica :
G =
Dvije kvadratne matrice,čiji su odgovarajući elementi konjugovano-kompleksni brojevi,zovu se konjugovano kompleksne matrice.
Na primjer,matrici G= konjugovano kompleksna je matrica
Ğ = .

Nula-matrica

Kada su svi elementi matrice jednaki nuli,onda se takva matrica zove nula-matrica i obilježava se sa 0.
Primjer:Nula-matrice su :
0 = , 0 = , 0 = [ 0, 0, 0 ].

Konstantna i promjenjiva matrica

Kada su elementi a i k matrice A konstantne,matrica se zove konstantna.
Na primjer,konstantna matrica je:
C =
Međutim,elementi matrice mogu biti funkcije nekog skalara t,onda je matrica promjenjiva,ili kako se još kaže,da je funkcija promjenjivih elemenata a ik.
Matrica
A =
je funkcija svojih promjenjivih elemenata.