Kvadratna jednacina i kvadratna funkcija

Maturski, seminarski i diplomski radovi iz matematike.

U mnogim primenama matematike i njenim disciplinama susreću se problemi u kojima treba rešiti neku jednačinu ili sistem jednačina . Pored linearnih jednačina i njihovih sistema postoje i kvadratne jednačine, a zatim i neke drugi sistem jednačina.
Jednostavne jednačine možemo rešiti neposredno, dok jednačine složenog oblika moramo transformisati na pogodan način do jednostavnijih, sa njima ekvivalentnim jednačinama koje se mogu lako rešiti. Ponekad jednačinu ne transformišemo na ekvivalentnu jednačinu, već na jednačinu koja je njena posledica.
Jednostavnu jednačinu rešimo, a zatim dobijena rešenja zamenimo u polaznu jednačinu i proverimo da li su i njena rešenja. U jednačini može učestvovati i više parametara tj. Promenljivih koje nismo proglasili nepoznatim što znači da odgovarajuću jednačinu rešavamo po nekoj nepoznatoj, a rešenja će zavisiti od promenljive koju nismo proglasili nepoznatom, tj. Parametra.
Značaj kvadratnih jednačina je u tome što se njihovom primenom mogu rešiti i jednačine raznih drugih tipova.

Kvadratna jednačina

Definicija 1. Jednačina oblika ax2+bx+c=0, gde je x nepoznata, a a, b, c realni brojevi (a 0), je kvadratna jednačina po x sa koeficijentima a,b,c.
Kvadratna jenačina se deli na dve vrste i to:
1) potpuna kvadratna jednačina
2) nepotpuna kvadratna jednačina
Definicija 2. Kvadratna jednačina je potpuna ako je b 0 i c 0. Kvadratna jednačina je nepotpuna ako je b=0 ili c=0. Prema tome, mogu se napisati tri tipa nepotpunih kvadratnih jednačina i to:
1o ax2+bx=0
2o ax2+c=0
3o ax2=0

Nepotpune kvadratne jednačine se mogu veoma jednostavno rešavati i to na sledeće načine:
1o Jednačina ax2+bx=0, b 0. Ova jednačina je ekvivalentna sa jednačinom x(ax+b), a ona je ekvivalentna sa x=0 ili ax+b=0 odnosno, zbog uslova da je a 0, imamo da je x=0 ili
U ovom slučaju jednačina ima dva realna rešenja i to x1=0 i .
Primer 5. Rešiti jednačinu 4x2-3x=0
Ovo je nepotpuna kvadratna jednačina tipa 1o kod koje je a=4, b= -3, c=0. Ova jednačina je ekvivalentna sa x=0 ili pa ima dva rešenja i to x1=0 i .
2o Jednačina ax2+c=0, c 0. Zbog uslova a 0 ova jednačina je ekvivalentna sa jednačinom . Ako su koeficijenti a i c istog znaka, onda je negativan realan broj i važi pa je jednačina ekvivalentna sa ili odnosno ili .
U ovom slučaju jednačina ima dva kompleksna rešenja. Ako su koeficijenti a i c suprotnog znaka onda je pozitivan broj i važi
Pa je jednačina ekvivalentna sa ili
odnosno ili .
Tada jednačina ima dva realna rešenja; to su dva suprotna realna broja.

1. Uvod
2. Pojam jednačine, rešenja jednačine ekvivalentnih jednačina
3. Kvadratna jednačina
Nepotpuna kvadratna jednačina
Potpuna kvadratna jednačina
4. Priroda rešenja kvadratne jednačine
5. Vietove formule
6. Neke jednačine sa jednom nepoznatom koje se svode na kvadratne
7. Kvadratna funkcija
Funkcija y=x2
Funkcija y=ax2
Translacija koordinatnog sistema
Funkcija y=ax2+c
Funkcija y=a(x-)2
Funkcija y=ax2+bx+c