Granična vrednost funkcije

Maturski, maturalni, seminarski, diplomski i master radovi iz matematike.

U matematici, granična vrijednost funkcije je fundamentalni koncept u kalkulusu. Funckija f(x) ima graničnu vrijednost l u tački p ako je vrijednost f(x) približno jednaka l (kada je x približno p).

Prve definicije, koje su se pojavite u ranom 19. vijeku, su napisane u tekstu ispod.


DEFINICIJA I OSNOVNE OSOBINE

Da bismo motivisali definiciju graniˇcne vrednosti funkcija, dajemo dva primera.

Posmatrajmo funkciju x →f(x) = sin x
x

Funkcija f je definisana za svako x ≠ 0. Šta se dešava sa vrednostima f(x) kada se x neograničeno približava nuli? Crtanjem grafika posmatrane funkcije uz pomoć računara, za x ∈ (−4, 4), dobijamo sliku 1.


Sa slike stičemo utisak da, ako bi se posmatrač kretao duž grafika funkcije tako da mu se x-koordinata neograničeno približava nuli, njegova y-koordinata bi se neograničeno približavala jedinici. Kaže se da je limes ove funkcije kad x → 0 (kad x teži nuli) jednak 1.

Na slici 1b prikazan je crtež funkcije y = sin 1/x koja takodje nije definisana za x = 0. Ako bi se posmatrač kretao po grafiku ove funkcije tako da mu se x-koordinata približava nuli, njegova y-koordinata bi beskonačno mnogo puta opisivala sve vrednosti izmedju −1 i 1. U ovom slučaju, kažemo da f(x) nema limes, ili da divergira, kad x → 0.

Važno je odmah primetiti da limes, odnosno nepostojanje limesa ne zavisi od same vrednosti funkcije u tački u kojoj se traži limes. U stvari, u oba prethodna primera, funkcija nije definisana u x = 0, ali ako bismo je definisali na potpuno proizvoljan način (recimo, f(0) = 0, ili f(0) = −10), u prvom slučaju limes bi i dalje bio jednak 1, a u drugom ne bi postojao. Takodje, limes ne zavisi od vrednosti funkcije daleko od tačke u kojoj se traži limes. Prema tome:

- Limes funkcije u nekoj tački ne zavisi od vrednosti funkcije u toj tački.
- Limes funkcije zavisi od vrednosti funkcije u okolini tačke.
- Limes funkcije ne zavisi od vrednosti funkcije van bilo koje okoline tačke u kojoj se limes traži.

Da bi zamišljeni posmatrač mogao da, kretanjem po grafiku funkcije neograničeno približi svoju x-koordinatu tački a, u kojoj se traži limes, nije neophodno da je funkcija definisana u tački a. Medjutim, neophodno je da je ona definisana u nekoj, proizvoljno maloj, okolini tačke a (osim eventualno u samoj tački a). Drugim rečima, to znači da možemo da