Geometrija - osna simetrija

Maturski, Seminarski , Maturalni i diplomski radovi iz matematike.

Uvod u izometrijske transformacije

Izometrijske transformacije su bijektivna preslikavanja koja čuvaju relaciju podudarnosti parova tačaka. Njihovim razvojem omogućena je izgradnja podudarnosti geometrijskih likova. Postoje izometrijske transformacije prostora. Obeležavaju se sa E¹(trans. prave), E²(trans. ravni) i E³(trans. prostora).
DEF.1. Izometrijska transformacija ravni E2 je bijektivna transformacija I:E2E2 takva da za svake dve tačke X,YE2 i njihove slike X1,Y1E2 važi relacija (X,Y)(X`,Y`).
Kako za svake dve tačke X,YE2 važi relacija (X,Y)(X,Y), identična transformacija , tj. koincidencija koja svaku tačku ravni E2 prevodi u istu tu tačku, je takođe izometrijska transformacija te ravni.
TEOREMA 1. Kompozicija dveju izometrijskih transformacija ravni E2 je takođe izometrijska transformacija te ravni.
DOKAZ. Neka su I` i I`` bilo koje dve izometrijske transformacije ravni E2. Obeležimo sa X,Y proizvoljne tačke ravni E2, sa X1 i Y1 tačke koje u transformaciji I1 odgovaraju tačkama X i Y, a sa X2 i Y2 tačke koje u izometrijskoj transformaciji I2 odgovaraju tačkama X1 i Y1. Tada važi (X,Y)(X`,Y`) i (X`,Y`)(X``,Y``), pa je (X,Y)(X``Y``). Na osnovu prethodnog zaključujemo da je kompozicija I`  I`` izometrijska transformacija ravni E2.

TEOREMA 2. Inverzna transformacija izometrijske transformacije ravni E2 predstavlja takođe izometrijsku transformaciju te ravni.
DOKAZ. Neka je I bilo koja izometrijska transformacija ravni E2, X i Y proizvoljne tačke te ravni, a X` i Y`` tačke koje u toj trnsformaciji odgovaraju tačkama X i Y . Tada važi (X,Y)( X`, Y``), a kako je relacija podudarnosti parova tačaka simetrična biće (X`, Y``)(X,Y). Stoga zaključujemo da je inverzna transformacija I-1 takođe izometrijska transformacija.

TEOREMA 3.Ako su A,B,C tri nekolinearne tačke ravni E2 i A1,B1,C1 tačke iste ravni takve da je (A,B,C)( A`,B`,C`) tada postoji jedinstvena izometrijska transformacija I:E2E2 takva da je I(A)= A`, I(B)= B`, I©= C`.
POSLEDICA. Ako izometrijska transformacija I:E2E2 poseduje tri nekolinearne invarijantne tačke, ona predstavlja koincidenciju.

SADRŽAJ

1. Uvod u izometrijske transformacije…………………………….1
2. Izometrijske transformacije i njihova podela…………………2-3
3. Osna refleksija (simetrija)…………………………………….3-4
4. Teoreme I definicije osne simetrije…………………………...4-8
5. Pretstavljanje izometija pomoću osne simetrije……………..9-10
6. Pramen pravih………………………………………………11-12
7. Klasifikacija izometrijskih ravni……………………………….13