Eksponencijalne jednačine

Maturski, maturalni, seminarski, diplomski i master radovi iz matematike.


Eksponencijalne jednačine

Jednacine kod kojih se nepoznata nalazi u izloziocu (eksponentu), nazivamo eksponencijalne jednacine.
Eksponencijalne jednacine resavamo najcesce, ako je moguce, “ svodjenjem leve i desne strane jednacine na istu osnovu” ili “svodjenjem leve i desne strane na isti izlozilac”.
U prvom slucaju imamo (obzirom da je eksponencijalna funkcija bijektivno ,”1-1” i “na”, preslikavanje)
af(x) = ag(x)  f(x) = g(x),
gde je a є R, a > 0, a ≠ 1, a f(x) i g(x) su funkcije argumenta x.
A u drugom slucaju vazi:

0 < a, b ≠ 1 i af(x) = bf(x)  f(x) = 0 .

Osim toga koristimo i osobine: 1m = 1, (1-)2k = 1, (-1)2k-1 = 1 i 0p = 0 za p > 0.
Cesto eksponencijalnu jednacinu mozemo svesti na jednostavan ili poznat oblik uvodjenjem odgovarajuce smene promenljive.


EKSPONENCIJALNE DIOFANTOVE JEDNAČINE


Eksponencijalne Diofantove jednačine zauzimaju važno mesto među svim Diofantovim jednačinama, jer njihovo rešavanje je u suštini sinteza svih do sada realizovanih metoda. I u rešavanju ekspone- ncijalnih Diofantovih jednačina nema nekih posebnih algoritama niti teorijskih razmatranja. Zato dajemo nekoliko zanimljivih primera, jer će oni najbolje ilustrovati moguće metode.

PRIMER 1. Postoje li prirodni brojeve h i u takvi da važi jednakost 2h + 1 = u2 ?

REŠENJE: Kako je 2h + 1 = u2, to je 2h = u2 - 1 = (u + 1)(u – 1).
Izrazi u – 1 i u + 1 su iste parnosti, a kako je njihov proizvod 2h, očigledno parni, pa je u + 1 = 2a i u – 1 = 2b (a + b = h, a > b). Oduzimanjem druge od prve jednakosti dobija se da je 2a – 2b = 2.
Sledi da je 2b (2 a-b – 1) = 2. Sada je jasno da je 2 b = 2 i 2a-b – 1 = 1,
pa je b = 1 i a - b = 1. Dakle, a = b + 1 = 2, pa je h = a + b = 2 + 1 = 3.
jedino rešenje jednačine je h = 3, u = 2.

∆

PRIMER 2. Odrediti prirodan broj h i prost broj r tako da je h4 + 4h = r.

REŠENJE: Kako je h prirodan broj, to je r paran broj, ako je h paran i r je neparan broj, ako je h neparan broj. Kako je r = 2 jedini paran prost broj, i kako jednačina h4 + 4h = 2 nema rešenja to znači da je h neparan broj. Razlikuju se dve mogućnosti.
1) Ako je h = 1, onda je h4 + 4h = 5, pa je (h, r) = (1, 5) jedno rešenje.
2) Jedino rešenje jednačine je (h, r) = (1, 5).

PRIMER 3. Odrediti cele brojeve h i u tako da je 2h – 3u = 5.

REŠENJE: Kako je 2h - 3u = 5, to je 2h = 3u + 5 > 5, pa je h ≥ 3. Tada se razlikuju sledeći slučajevi: