Teorija igara

Maturski. seminarski i diplomski radovi iz ekonomije: menadzment, marketing, finansija, elektronskog poslovanja, internet tehnologija, biznis planovi, makroekonomija, mikroekonomija, preduzetnistvo, upravljanje ljudskim resursima.

U svakodnevnom životu, podjednako poslovnom i privatnom, okruženje često nije amorfna masa, već po pravilu srećemo pojedince ili ( interesne ) grupe čije su aktivnosti relevantne, a ponekad i presudne za naše odluke. Istovremeno, naše aktivnosti imaju povratni uticaj na odluke istih subjekata ili grupa, pa konačni rezultati koje svako od nas postiže predstavljaju proizvod brojnih individualnih odluka i njihovih interakcija. Ponekad se ovi uticaji zasnivaju na saglasnim interasima, dobroj volji i želji da pomognemo jedni drugima, dok u drugim slučajevima proističu iz konfliktnih interesa, animoziteta, pa i neprijateljstva. Situacije delimičnog ili potpunog konflikta izmedju različitih donosilaca odluka nazivamo igrama.

Teorija igara predstavlja matematičku teoriju i metodologiju koja se koristi za analizu i rešavanje konfliktnih i delimično konfliktnih situacija u kojima učesnici imaju suprotstavljene interese.Razmatranje situacija u kojima dva ili vise subjekata donose odluke u uslovima sukoba interesa nazvano je teorijom igara zato što tipične primere ovakvih situacija predstavljaju različite društvene igre, kao što su sportske utakmice, kartaške igre (poker, bridz, i sl.), šah, itd. Naravno, iako je veći deo termina koji se koriste u okviru matematičke teorije igara sličan terminologiji društvenih igara, teorija igara ima mnogo širu primenu i koristi se za modeliranje konfliktnih situacija u matematici, politici, ekonomiji, vojnoj strategiji, itd. Pri tome, neophodno je istaći da metodi teorije igara služe za analizu i rešavanje takvih konfliktnih situacija koje karakteriše višekratno ponavljanje pojedinih odluka o mogućem razrešenju sukoba interesa izmedju učesnika, tj. igrača.

Prvi radovi iz domena teorije igara datiraju još od prve polovine devetnaestog veka, od radova Cournot-a i Bertrand-a, koji su nagovestili mogućnost korišćenja teorije igara za potrebe ekonomske analize, posebno u analizi proizvodnje i cena. Međutim, ideju opšte teorije igara na teorijski konzistentan način prvi su predstavili John von Neumann i Oskar Morgenstern 1944. godine u svom fundamentalnom radu “Teorija igara i ekonomsko ponašanje”. U tom radu pokazano je da se mnogi ekonomski problemi mogu veoma uspešno modelirati korišćenjem teorije igara i predstavljene su igre u ekstenzivnoj i normalnoj formi. U posleratnom periodu razvoj i usavršavanje teorije igara predstavlja predmet interesovanja mnogih istaknutih matematičara i ekonomista. Može se slobodno kazati da u posleratnom periodu skoro da nijedno područje ekonomske analize i matematičkog modeliranja ekonomskih pojava nije ostvarilo toliku ekspanziju i razvoj kao što je to slučaj sa teorijom igara.

Osnovne karakteristike i vrste igara

Da bi korišćenjem odgovarajućeg matematičkog modela mogli analizirati konfliktnu situaciju, neophodno je izvršiti takvo uprošćavanje koje omogućava uključivanje u razmatranje samo najznačajnijih faktora koji utiču na mogući ishod konflikta. Zbog toga, može da se kaže da “igra predstavlja uprošćeni model konflikta koji obuhvata ukupnost pravila ponašanja učesnika u igri (igrača), koja opredeljuju njihove moguće poteze kao i potencijalne rezultate njihovog izbora.” Igrači, tj. učesnici u igri, mogu biti pojedinci, grupe, preduzeća, vojne formacije, itd. Pri tome, cilj svakog od učesnika u igri jeste da postigne u igri takvo rešenje koje mu obezbeđuje ostvarivanje najpovoljnijeg mogućeg rezultata. Potencijalne rezultate igrača učesnika, odnosno ishod igre, obično predstavljamo tzv. funkcijom plaćanja koja predstavlja numerički izraz dobitaka odnosno gubitaka učesnika neke igre.

Osnovna karakteristika teorije igara sadržana je u činjenici da veličina rezultata koji će pojedini igrači ostvariti u igri ne zavisi samo od njihovog izbora mogućeg pravila ponašanja u igri, već i od izbora ostalih igrača. Svaki od igrača unapred poznaje moguće alternative koje mu stoje na raspolaganju u toku igre, koje nazivamo njegovim strategijama. “Strategije predstavljaju ukupnost pravila ponašanja igrača i potencijalne rezultate izbora pojedinih alternativa u svakoj konkretnoj situaciji.” Očigledno, strategija predstavlja centralni pojam ukupne teorije igara, kojim se unapred definišu mogući izbori različitih alternativa od strane igrača, za koje se oni mogu opredeliti u svim mogućim varijantama igre. Svaka igra se realizuje preko pojedinačnih poteza igrača, pri čemu potez predstavlja jedan izbor moguće alternative od strane igrača. Skup većeg broja poteza obrazuje partiju.

Postoje različite vrste igara, pri čemu se kao kriterijumi za klasifikaciju igara obično uzimaju sledeći kriterijumi: broj igrača, broj strategija, karakter funkcije plaćanja i međusobna povezanost igrača.

Zavisno od broja igrača učesnika, sve igre delimo na igre sa dva lica, igre sa tri lica, ..., igre sa n lica. Za realizaciju neke igre, odnosno postojanje odnosa konflikta ( ili kooperativnosti), neophodno je učešće najmanje dva lica. Postojanje tri ili više učesnika u igri otvara mogućnost stvaranja tzv. koalicija, tj. mogućnost da se dva više igrača usklađujući svoje interese koordinisano opredeljuju u izboru strategija.

Ukoliko svakom od igrača u igri stoji na raspolaganju konačan broj strategija, tada se radi o tzv. konačnoj igri. U suprotnom slučaju, kada broj strategija igrača nije ograničen, igra predstavlja beskonačnu igru.

Prema karakteru funkcije plaćanja sve igre delimo na igre sa nultom i igre sa nenultom sumom. Igra sa nultom sumom predstavlja takvu igru u kojoj je suma ukupnog plaćanja jednaka nuli, tj. ukupan dobitak jednog ili više igrača je jednak ukupnom gubitku “poraženih” igrača. Tipičan primer za ovakvu vrstu igre jeste igra pokera, u kojoj je ukupna suma plaćanja jednaka nuli. Nasuprot ovome, u igrama sa nenultom sumom, u kojima se obično prepliću odnosi konflikta i kooperacije igrača, suma ukupnog plaćanja je različita od nule. Na primer, u igri lutrije organizator zadržava za sebe deo ukupnog dobitka.

Zavisno od međusobnog odnosa igrača učesnika, sve igre delimo na kooperativne i nekooperativne. Kooperativne igre predstavljaju takvu vrstu igara u kojima igrači formiraju koalicije koje im služe za međusobno usklađivanje ponašanja i izbor pojedinačnih strategija koje im obezbeđuju postizanje najpovoljnijih rezultata. Ukoliko u toku igre ne postoji koordinacija u ponašanju ( izboru poteza ) od strane igrača, takva igra predstavlja nekooperativnu, tj. antagonističku igru.

Za potrebe matematičkog modeliranja, analize i rešavanja, igra može biti predstavljena na različite načine. Jedan postupak primenjuje se za igre kod kojih ne postoji potpuna informisanost igrača o potencijalnim odgovorima protivnika na njihov izbor pojedinačnih strategija. Za takve igre je karakteristično da se rezultat svih poteza u toku neke igre obračunava tek na kraju igre, kada se obavi predviđeni broj poteza, odnosno realizuje jedna partija. Ovakva vrsta igre, koju koju nazivamo igrom ekstenzivnog (opšteg) oblika, predstavlja se obično preko odgovarajućeg stabla igre, u kome se predstavljaju odabrani potezi igrača. Tipičan primer ovakve igre jeste poker. Takođe, pregovaračke igre, kao specijalna vrsta igara prikazuju se grafičkim putem, tzv. funkcijom koalicije, u prvom kvadrantu koordinatnog sistema. Upravo o ovoj vrsti igara biće više reči u narednom poglavlju.

Drugi postupak predstavljanja i analiziranja igreprimenjuje se u situaciji tzv. pune informisanosti o potencijalnim rezultatima odabranih strategija od strane igrača. Kod ovakve vrste igre, koju nazivamo igra u normalnoj (matričnoj) formi, za sve alternativne kombinacije odabranih strategija od strane igrača unapred su poznata plaćanja, odnosno rezultat igre. Na primer, kod konačne igre dva lica sa nultom sumom, ova plaćanja (funkcija plaćanjan) predstavljena su matricom plaćanja u kojoj su predstavljeni rezultati koji će biti ostvareni izborom različitih mogućih kombinacija parova strategija od strane dva igrača, učesnika u igri.