Parcijalne diferencijalne jednačine (pdj) - diplomski

Maturski, Seminarski , Maturalni i diplomski radovi iz ekonomije: menadzment, marketing, finansija, elektronskog poslovanja, internet tehnologija, biznis planovi, makroekonomija, mikroekonomija, preduzetnistvo, upravljanje ljudskim resursima, carine i porezi.

Parcijalne diferencijalne jednačine (PDJ) imaju važnu ulogu u finansijama, a posebno u proceni cena opcija. One su moćan aparat za određivanje cena složenih derivata. Nažalost, analitička rešenja u opštem slučaju nisu moguća tako da se često pribegava numeričkim metodama. Neke od problema koji se javljaju u finansijama je u principu lako rešiti, bar u osnovi, korišćenjem standardnih numeričkih metoda. Postoje i određeni softverski paketi, npr. MATLAB, što nam daje mogućnost da se suočimo sa problemom portfolio optimizacije i određivanja cena.

Numeričko rešavanje PDJ je uobičajno sredstvo u matematičkoj fizici i inženjerstvu, tako da su razvijene suptilne metode za njihovo rešavanje. Složenost metode zavisi od tipa parcijalne diferencijalne jednačine. Razume se, nelinearna diferencijalne jednačine su komplikovanije za rešavanje od linearnih, ali kod nelinearnih postoji finija zavisnost od numeričkih parametara, budući da samo promena znaka nekog koeficijenta može dramatično da promeni osobine jednačine. U finansijskim tehnikama dešava se da sasvim jednostavna metoda dovodi do zadovoljavajućeg tačnog rešenja. Međutim, ova problematika nije toliko prosta budući da neoprecizno korišcenje numeričkih metoda može dovesti do nelogičnih zakona. Dok neki autori preporučuju korišćenje PDJ za određivanje cene derivata, drugi savetuju da su one podložne problemima numeričke aproksimacije, tako da primena metoda konačnih razlika, prema njima, upućuje na korišćenje metoda zasnovanih na rešetkama. Zapravo, ovo je samo pitanje ukusa tako da poznavanje jedne metode može da dovode do rešenja mnogih problema.

Na sreću, kada se pojave numerički problemi u algoritmu za rešavanje finansijskih problema pomocu PDJ, oni dovode do tako besmislene interpretacije da je lako videti u čemu je problem. Potrebno je naglasiti da su PDJ teške za rešavanje i zahtevaju znanje naprednih matematičkih koncepta.

Svrha ovog rada je da ukratko definišemo PDJ i spomenemo uslove koje ona mora da zadovolji da bi valjano postavili problem. Potom ćemo definisati i matematički modelovati finansijske instrumente kojim se bavimo kroz ovaj rad. Najviše pažnje biće posvećeno numeričkim metodama rešavanja PDJ-a i njihovoj primeni u određivanju cene spomenutih finansijskih instrumenata...

SADRŽAJ:

Uvod............................................................................................2
2. Parcijalne diferencijalne jednačine (PDJ)........................................3
2.1 Klasifikacija i karakteristične krive......................................5
3. Matematčko modelovanje opcija.................................................8
3.1 Derivatni ugovori.............................................................8
3.2 Modelovanje dinamike cene imovine...........................................11
3.3 Blek Šolsov model............................................................15
4. Numeričko rešavanje parcijalnih diferencijalnih jednačina......................19
4.1 Metoda konačnih razlika.........................................................20
4.1.1 Metoda konačnih razlika za eliptičke probleme..............................22
4.1.2 Primer loše šeme konačnih razlika............................................25
4.1.3 Nestabilnost u šemi konačnih razlika.........................................27
4.2 Eksplicitna i implicitna metoda rešavanja parcijalnih diferencijalnih jednačina......29
4.2.1 Rešavanje jednačine toplote eksplicitnom metodom.................29
4.2.2 Rešavanje jednačine toplote implicitnom metodom...................32
4.2.3 Rešavanje jednačine toplote Krank-Nikolsonovom metodom.............34
4.3 Konveregencija, konzistencija i stabilnost......................................36
5. Određivanje cene opcije metodom konačnih razlika............................38
5.1 Primena metoda konačnih razlika na Blek Šolsovu jednačinu................38
5.2 Određivanje cene evropske vanila opcije eksplicitnom metodom...........41
5.2.1 Finansijska interpretacija nestabilnosti eksplicitne metode...........41
5.3 Određivanje cene evropske vanila opcije u potpunosti implicitnom metodom........43
5.4 Određivanje cene opcije sa barijerom Krank-Nikolsonovom metodom....44
5.5 Određivanje cene američke opcije.......................................46
6. Neki eksperimentalni rezultati.........................................................48
7. Zaključak...................................................................................51
8. Literatura...................................................................................52