Maturski, maturalni, seminarski, diplomski i master radovi iz informatike.


Obične i fazi relacije
Obične relacije

Razmišljamo o običnoj relaciji. Neka su data dva diskretna skupa X i Y, sa elementima x i y. X = {x}, Y = {y}. Formirajmo od elemenata x i y parove vrednosti (x,y). Sve parove vrednosti nastale kombinacijom svih elemenata x i y označimo pomoću proizvoda X x Y:



Primer. Neka je X skup devojaka X = {Marija, Jovana, Jelena, Katarina, Marina}. Neka je Y skup sa imenima momaka Y = {Marko, Damir, Nikola, Goran, Ivan}. Tada je proizvod ova dva skupa X x Y:
X x Y = {(Marija, Marko), (Marija, Damir), (Marija, Nikola), (Marija, Goran), (Marija, Ivan), (Jovana, Marko), (Jovana, Damir), (Jovana, Nikola), (Jovana, Goran), (Jovana, Ivan), (Jelena, Marko), (Jelena, Damir, (Jelena, Nikola), (Jelena, Goran), (Jelena, Ivan), (Katarina, Marko), (Katarina, Damir), (Katarina, Nikola), (Katarina, Goran), (Katarina, Ivan), (Marina, Marko), (Marina, Damir), (Marina, Nikola), (Marina, Goran), (Marina, Ivan)}
Ukupan broj elemenata skupa je 25.
Sada za skupove X = {x}, Y = {y} definišimo relaciju ρ. Kada dva elementa x i y zadovoljavaju relaciju ρ, pišemo xρy. Kada dva elementa x i y ne zadovoljavaju relaciju ρ pišemo xρy. Ako skup svih parova (x,y) koji zadovoljavaju relaciju ρ obeležimo sa R, možemo da pišemo:



Primer. Neka je u tabeli 1.1 data starost svih devojaka i momaka iz skupova X i Y:

Marija Jovana Jelena Katarina Marina
18 15 28 35 23
Marko Damir Nikola Goran Ivan
22 17 24 26 38
Tabela 1.1 Starost devojaka i momaka iz skupova X i Y
Definišimo sada relaciju ρ = momak stariji od devojke. Oba skupa su prikazana kao ulazi u vrste i kolone tabele 1.2. Kada je relacija između dva elementa zadovoljena, u tabelu u pisujemo 1, a kada nije, u tabelu upisujemo 0.

Marko Damir Nikola Goran Ivan
Marija 1 0 1 1 1
Jovana 1 1 1 1 1
Jelena 0 0 0 0 1
Katarina 0 0 0 0 1
Marina 0 0 1 1 1
Tabela 1.2 Relacija ρ = momak stariji od devojke

Osim nad proizvodom dva različita skupa, moguće je definisati relaciju i nad proizvodom dva ista skupa. Na primer, možemo da definišemo i relaciju ρ2 = starija devojka nad proizvodom skupova X x X (tabela 1.3). Ova relacija prikazuje koja je devojka starija.

Marija Jovana Jelena Katarina Marina
Marija 1 0 1 1 1
Jovana 1 1 1 1 1
Jelena 0 0 1 1 0
Katarina 0 0 0 1 0
Marina 0 0 1 0 1
Tabela 1.3 Relacija ρ2 = starija devojka

Fazi relacije

Do sada smo razmatrali da slučaja: jedan u kome dati par zadovoljava relaciju i drugi u kome dati par ne zadovoljava relaciju. Takve relacije se nazivaju diskretne ili binarne relacije. Međutim, u mnogim slučajevima upotrebljavamo relacije koje nisu binarne. Tako, često kažemo da između nekih pojmova postoji izvesna veza, ima neke veze, posotji neka veza. U ovim izrazima jačina veze (relacije) se izražava postepenim izrazima.
Na osnovu ovih razmatranja definišimo fazi relaciju. Ona se definiše nad proizvodom X x Y, označava se sa R, i predstavlja, u stvari, fazi skup µR u dve dimenzije:

µR :

Naime, stepen u kome par (x,y) zadovoljava relaciju ρ se izražava kao broj iz intervala [0,1]. Što je ovaj stepen bliže jedinici, relacije je više zadovoljena. Što je ovaj broj bliži nuli, relacija je manje zadovoljena.
Primer. Definišimo relaciju ρ = dobri prijatelji nad proizvodom X x Y skupova devojaka X i momaka Y.

Marko DamirNikola GoranIvan
Marija 0.8 0.2 0.6 0 0
Jovana 0.2 1 1 0 0.4
Jelena 1 0 0.4 0.2 0.8
Katarina 0 1 0.4 1 0.6
Marina 0 1 0 0 0.8
Tabela 1.4 Fazi relacija ρ = dobri prijatelji
Neka su vrednosti stepena zadovoljenja ove relacije dati u tabeli 1.4. Na osnovu tabele možemo da pišemo µR (Marija, Marko) = 0.8, µR (Marija, Damir) = 0.2. To znači da su Marija i Marko dobri prijatelji sa stepenom 0.8, da su Marija i Damir dobri prijatelji sa stepenom 0.2. Dakle, ulazi u tabelu predstavljaju vrednosti funkcije pripadnosti µR (x,y).