Maturski, seminarski i diplomski radovi iz matematike.

U toku razvoja matematike, koja je nesumnjivo jedna od najstarijih nauka uopšte,javljali su se u njoj razni problemi od kojih su neki rešeni potpuno, neki delimično, a neki još uvek čekaju svoja konačna rešenja.Ovi problemi su postali poznati upravo po tome što su se njima bavili ne samo amateri i laici, već i najveći matematički umovi mnogih razdoblja.Svako rešenje ili sam pokušaj rešavanja jednog takvog problema mnogo su doprinosili razvoju matematičkih ideja ili su čak podstakli stvaranje novih matematičkih disciplina.
Kroz istoriju matematike javljali su se raznovrsni problemi, a verovatno će tako biti i u buduće.Ovde ćemo se ograničiti samo na neke probleme koji su oduvek zaokupljali pažnju svih ljubitelja matematike.

Klasični geometrijski problemi

Upoznaćemo najpre tri osnovna klasična problema u geometriji.To su problemi iz doba antike kojima su se bavili još stari Grci i koji su više od dve hiljade godina čekali svoje rešenje, a poznati su pod imenom:
-Trisekcija ugla
-Udvostručenje kocke
-Kvadratura kruga

Značaj tih problema je u tome što se oni ne mogu tačno geometrijski rešiti pomoću konačnog broja konstrukcija pravih linija i kružnica.Ako uklonimo ograničenje koje nameće konačnost, onda je Hipija odavno rešio probleme trisekcije ugla i kvadrature kruga.Ne možemo, međutim, nacrtati ceo tok takve krive kao što je kvadratrisa, a da ne napravimo beskonačan broj konstrukcija krugova i linija da bismo našli sve njene tačke.Dokaz da nijedan od ovih problema nije rešiv dobijen je tek polovinom 19. veka .

Problem trisekcije ugla

Ovaj zadatak, koji spada u najstarije matematičke probleme, potiče od grčkog filozofa Hipije iz Elide (4. v.p.n.e.), a sastoji se u tome da se zadani ugao podeli na tri jednaka dela (ugla) elementarnim putem (pomoću lenjira i šestara).
Ovim naizgled jednostavnim problemom bavio se Arhimed i mnogi veliki matematičari posle njega, ali ga ipak nisu uspeli rešiti.Stari Grci su na mnoge načine nastojali izvršiti trisekciju ugla elementarnim putem, ali kako nisu uspevali, pokušali su rešiti problem pomoću raznih krivih.Između ostalih, to je uspelo i Nikomedu pomoću konhoide.U novije doba taj su problem pomoću krivih drugog reda rešili Dekart i Klero.Ipak, tek je Gaus dokazao da je trisekciju ugla nemoguće rešiti upotrebom samo lenjira i šestara.Taj se problem naime svodi na jednačinu trećeg stepena oblika x³-3ax²-3x+a=0, koja se ne može svesti na jednačine nižeg stepena.To znači da se odgovarajuća geometrijska konstrukcija ne može izvesti elementarno.
Uz trisekciju ugla pomenimo i stari problem podele kruga na jednake delove (konstrukcije pravilnog poligona).Taj problem se najverovatnije javio pre nekoliko hiljada godina,kada su se ljudi prvi put sreli sa problemom pravljenja točka.Naime,već su Vavilonci umeli dosta dobro aproksimativno razdeliti kružnicu na sedam jednakih delova, a Grci su znali elementarno geometrijski razdeliti kružnicu na n=2,3,4,5,6,8 i 12 jednakih delova, ali njihovi pokušaji da to isto učine za n=7,9,11,13,. . . nisu uspeli.I mnogi kasniji pokušaji da se kružnica elementarno razdeli na n jednakih delova ostali su uzaludni, sve dok konačno Gaus krajem 18. veka nije dokazao da je taj problem moguće elementarno konstruktivnim putem rešiti samo za neke posebne slučajeve broja n.

Problem udvostručenja kocke

Ovaj problem (u istoriji poznat pod nazivom “ Delski problem “) se sastoji u određivanju ivice kocke koja ima dva puta veću zapreminu od zadate kocke.To znači da elementarnim putem treba konstruisati veličinu x koja je rešenje jednačine x³—2a³=0, tj. veličinu x=a∛2, gde je a zadata duž.To je naravno nemoguće.Međutim, mnogim generacijama matematičara taj problem je zadavao velike brige, sve dok opet Gaus nije dokazao da je nemoguće ovaj problem rešiti elementarnim putem.No, još je i sam Platon dokazao (u 4. v.p.n.e.) da se ovaj zadatak može rešiti korišćenjem dva prava ugla.

Na međusobno normalnim pravama sa presečnom tačkom O označimo duži OB=a i OA=2a i postavimo dva prava ugla kao na slici.Tada je x²=ay , y²=2ax tj. x²•x²=a²•2ax , x³=2a³.

Delskim problemom bavio se i Hipokrat sa Hiosa i sveo ga je na određivanje dve duži x i y takve da je a:x=x:y=y:b, gde su a i b date duži.Iz ove proporcije sledi da je x²=ay i xy=ab, tj. x³=a²b.Ako uzmemo da je b=2a sledi da je x³=2a³, a to znači da je x ivica tražene kocke sa dva puta većom zapreminom.Grafički se dužina x ipak ne može odrediti pomoću šestara i lenjira, jer gornje jednačine ukazuju na konusne preseke.Grafički je taj problem rešio na dva načina Menehmo(oko 350.g.p.n.e.).Jedno rešenje je dobio pomoću dve parabole, x²=ay i y²=2ax, a drugo pomoću parabole i hiperbole x²=ay i xy=2a².
Proučavanje ovog problema dovelo je do otkrića mnogih krivih i njihovih osobina.Nikomed je došao do rešenja pomoću konhoide (krive 4.reda), dok je Dioklo isto učinio pomoću cikloide (krive 3.reda).
Postoje, naravno, i aproksimativna rešenja problema udvostručenja kocke koja su dali Apolonije iz Perge i Heron iz Aleksandrije.Zanimljivo je napomenuti i to da o postanku tog problema postoje dve verzije.Prema jednoj se za problem znalo još u doba kralja Ptolomeja II, koji je jednom prilikom tražio da se udvostruči grob njegovog sina.Taj grob je bio sagrađen u obliku kocke i kralju se učinio premalenim, pa je mislio da se može jednostavno udvostručiti udvostručenjem ivice kocke.U jednom svom pismu Eratosten (276.-194.g.p.n.e.) upozorava na pogrešno kraljevo zaključivanje i spominje da se takvo pitanje već pojavilo u geometriji.Druga verzija se vezuje za jednu staru legendu, još iz Plutarhovog doba (oko 400.g.p.n.e.), prema kojoj su se stanovnici ostrva Delosa obratili proročištu u Delfima s molbom da im kaže šta da preduzmu da bi se zaustavila epidemija kuge.Proročište im je savetovalo da za smirenje gneva boga Apolona udvostruče njegov oltar u hramu na Delosu, koji je bio izgrađen u obliku kocke

Problem kvadrature kruga

Jedan od najstarijih, najpoznatijih i sigurno najčuvenijih matematičkih problema je problem kvadrature kruga.Ovaj problem se sastoji u konstruisanju (elementarnim putem) kvadrata čija je površina jednaka površini datog kruga.Ako je r poluprečnik datog kruga, a x stranica traženog kvadrata tada iz r²=x² sledi da treba elementarno konstruisati veličinu x=r.Gotovo da nema područja iz kojeg se pojedinci vekovima nisu trudili da taj problem reše.Ali su, kao i kod prethodna dva problema, svi napori ostali uzaludni, jer se pokazalo da je potrebno elementarno knstruisati broj , a to je bilo nemoguće.I tek kad je 1882. Lindeman dokazao tanscedentnost broja problem kvadrature kruga bio je rešen.To znači da je dokazana nemogućnost njegovog rešenja elementarnim putem.
U brojnim pokušajima nalaženja rešenja bilo je ozbiljnih nastojanja da se kvadratura kruga reši aproksimativno.Takva i slična nastojanja nisu celovito rešavala problem, tj. ne onako kako je zahtevala njegova formulacija, ali su zato pridonela razvoju matematike, ,jer se tako svakim novim korakom sve bolje i sa sve više tačnih decimala određivao broj .
Tako se već u Rindovom papirusu (napisanom oko 1700.-1600.g.p.n.e.) pronađenom u Egiptu spominje da je stranica kvadrata, koji je svojom površinom jednak površini kruga, jednaka 8/9 prečnika tog kruga; odatle onda sledi da je Uz to je već Arhimed (u 3.v.p.n.e.) polazeći od obima pravilnog upisanog i opisanog 96-ougla kruga pokazao da je 3,14084507<<3,14285714Ptolomej je u 2.v.p.n.e. izračunao da je 3,14166Na isti način, koristeći se Arhimedovim postupkom, Ludolf van Ceulen je izračunao broj na 35 decimala (krajem 16.veka), a 1706. Mahin je pomoću beskonačnih redova odredio broj na 100 decimala.Engeski matematičar Šenks je 1874. koristeći se istom formulom kao Mahin, broj izračunao čak na 707 decimala.Švajcarac Leonard Ojler, jedan od najpoznatijih matematičara 18.veka, obeležio je taj broj sa (grčko slovo pi, prema grčkoj reči peripheria-obod).Broj se često naziva Ludolfov broj.
S obzirom na metode za aproksimativno određivanje, tj. konstrukciju broja posebno se ističe konstrukcija poljskog matematičara A.Kohanskog iz 1685.godine, koja određuje taj broj na 4 tačne decimale.
Prema Kohanskom približna konstrukcija broja se izvodi ovako: Nacrtamo krug poluprečnika r sa središtem S i prečnikom AB.U tački B konstruišemo tangentu kruga i na toj tangenti odredimo tačke P i Q takve da je ∢BSP=30º i PQ=3r, P, Q su sa raznih strana tačke B.Sada iz ∆BSP sledi da je PB=r∙tg30º, pa zbog BQ=3r-PB, iz ∆ABQ po Pitagorinoj teoremi dobijamo AQ=√1/3(40-6√3)=r∙3,1415… Uzmemo li r=1, sledi AQ.
I tako je čuveni problem kvadrature kruga danas potpuno rešen.Rešen je, jer je ustanovljeno da dati krug nije moguće elementarnim putem “pretvoriti” u kvadrat jednake površine (broj se ne može elementarno konstruisati).On se zbog svoje transcedentnosti ne može konstruisati ni uz pomoć algebarskih krivih.Njegova geometrijska konstrukcija je moguća samo uz korišćenje transcedentnih krivih.Takvu konstrukciju je 1889.godine izveo Rus Abdank Abakanovič pomoću svog konstruktivnog aparata intergrafa.