![]() |
Banahova teorema o neprekidnoj tacki - Verzija za štampu +- Gotovi Seminarski Diplomski Maturalni Master ili Magistarski (https://www.maturskiradovi.net/forum) +-- Forum: Obrazovanje (/Forum-obrazovanje) +--- Forum: Društvene nauke (/Forum-dru%C5%A1tvene-nauke) +---- Forum: Matematika (/Forum-matematika) +---- Tema: Banahova teorema o neprekidnoj tacki (/Thread-banahova-teorema-o-neprekidnoj-tacki) |
Banahova teorema o neprekidnoj tacki - Vesnica - 28-06-2010 09:02 PM Maturski, seminarski i diplomski radovi iz matematike.
Banahova teorema o nepokretnoj tački (takođe poznata kao teorema o kontrakcionom preslikavanju ili princip kontrakcionog preslikavanja) je važan alat u teoriji metričkih prostora; ona garantuje postojanje i jedinstvenost nepokretnih tačaka određenih preslikavanja iz nekog metričkog prostora u samog sebe, i daje konstruktivni metod za pronalaženje tih nepokretnih tačaka. Teorema je dobila ime po Stefanu Banahu, (1892. - 1945.), koji ju je i izrekao 1922. godine Teorema glasi: Neka je (X, d) neprazan kompletan metrički prostor. Neka je T : X → X kontrakcija na X, to jest: postoji nenegativan realan broj q < 1, takav da za svako x, y iz X. Tada preslikavanje T ima jednu i samo jednu nepokretnu tačku x* у -{X (ovo znači da Tx* = x*). Štaviše, ta nepokretna tačka može da se nađe na sledeći način: pođe se od proizvoljnog elementa x0 iz X i definiše se iterativni niz, kao xn = Txn-1 za n = 1, 2, 3, ... ovaj niz konvergira, i limes mu je upravo x*. Sledeća nejednakost opisuje brzinu konvergencije: Najmanja vrednost q se ponekad naziva Lipšicovom konstantom. Valja uočiti da zahtev d(Tx, Ty) < d(x, y) za sve različite x i y u opštem slučaju nije dovoljan da osigura postojanje nepokretne tačke, kao što se vidi iz preslikavanja T : [1,∞) → [1,∞) sa T(x) = x + 1/x, koje nema nepokretnu tačku. Međutim, ako je prostor X kompaktan, onda i ova slabija pretpostavka implicira sve iskaze teoreme. Kada se teorema koristi u praksi, obično je najteži deo da se definiše X na takav način da T zaista slika iz X u X, to jest da je Tx uvek element iz X. SADRŽAJ 1 Uvod 2 2 Primene Banahove teoreme 8 3 Metrički prostori 11 3.1 Topologija metričkog prostora 12 3.2 Konvergencija niza u metričkom prostoru 13 3.3 Granična vrednost funkcije u metričkom prostoru 14 4 Hilbertovi prostori 15 5 Ortogonalnost prostora i uticaj Banahove teoreme 20 6 Literatura 25 |