+- Gotovi Seminarski Diplomski Maturalni Master ili Magistarski (https://www.maturskiradovi.net/forum)
+-- Forum: Obrazovanje (/Forum-obrazovanje)
+--- Forum: Maturski radovi (/Forum-maturski-radovi)
+--- Tema: Eksponencijalna funkcija, jednačine i nejednačine (/Thread-eksponencijalna-funkcija-jedna%C4%8Dine-i-nejedna%C4%8Dine)
Eksponencijalna funkcija, jednačine i nejednačine - Autor1 - 03-04-2010 11:38 PM
Sadržaj:
1. Uvod
1.1. Stepenovanje celim ( ) i racionalnim ( ) brojevima
2. Eksponencijalna funkcija
2.1. Osobine eksponencijalne funkcije
3. Eksponencijalne jednačine
4. Eksponencijalne nejednačine
5. Nestandardni zadaci (eksponencijalne jednačine i nejednačine)
6. Zaključak
7. Literatura
1. Uvod
Funkcija je jedan od najvažnijih pojmova u matemeatici. Njen istorijski razvoj nije lako pratiti, bio je sadržan još u prvim počecima razvoja matematike. Termin funkcija prvi je uveo Lajbnic 1694. godine. Za njega i njegove savremenike taj pojam je identifikovan sa analitičkim izrazom, što sa današnjeg stanovištva nije ispravno. Grafičko predstavljanje funkcija vezano je za Dekarta . Preciznije definicije funkcija i razvoj teorije funkcija vezani su naročito za imena Dirihlea , Vajerštrasa i Žordana .
Definicija: Preslikavanje skupa A u skup B u oznaci
tako da važi da svaki element skupa A je u relaciji sa tačno jednim elementom iz skupa B je funkcija.
Skup A je njen domen ili oblast definisanosti, skup B je njen kodomen ili skup u kojem funkcija uzima vrednosti, a f je pravilo po kojem se svakom elementu , dodeljuje tačno jedan element , onda pišemo jednostavno
2. Eksponencijanle funkcije
Neka je a pozitivan realan broj, a x realan broj, dobijamo izraz . To znači da je svakom realnom broju x pridružen drugi realan broj , to jest da je formulom definisana funkcija koja se naziva eksponencijalnom funkcijom.
Funkciju smo definisali još na početku: funkcija je preslikavanje skupa A u skup B tako da je svaki element skupa A, po nekom pravilu, u relaciji sa tačno jednim elementom skupa B. Ako je poznato šta je oblast definisanosti piše se
Obično se govori o funkcijama koje su definisane na nekim podskupovima skupa realnih brojeva i koje uzimaju vrednosti u skupu realnih brojeva,
Oznaku x koju smo zvali i nezavisno promenljivom je onda realna promenljiva, a i vrednosti funkcije su onda realni brojevi, pa se takve funkcije zovu realne funkcije realne promenljive.
Za realne funkcije realne promenljive često se ne zadaje oblast definisanosti, nego se dogovara da je oblast definisanosti skup svih onih realnih brojeva za koje se, po zadatom zakonu, može naći vrednost funkcije. Dakle, za ove funkcije nalazimo oblast definisanosti.
Za precizno ispitivanje realnih funkcija realne promenljive koriste se neke njihove karakteristike. Pored oblasti definisanosti, to su i nule funkcije, znak funkcije, parnos (neparnost) funkcije, rašćenje i opadanje funkcije, ekstremne vrednosti funkcije, grafik funkcije i td.
Neka je realna funkcija realne promenljive. Dakle . Onda je:
1° Realan broj je nula funkcije ako je .
2° Funkcija f je pozitivna na skupu ako je za sve ispunjeno , odnosno negativna kada je .
3° Funkcija je parna ako za sve važi i , odnosno neparna ako je .
4° Funkcija je ograničena odozgo (odnosno odozdo) ako je skup njenih vrednosti ograničen odozgo (odozdo), to jest ako postoji takav realan broj M da za svako važi , odnosno . Ako je f ograničena i odozgo i odozgo, kaže se da je ograničena.
5° Funkcija raste (opada) na skupu ako za sve iz sledi . Odnosno, iz sledi ako funkcija opada.
6° Realan broj je minimum (maksimum) za f ako je za sve , ispunjeno , odnosno . Vrednost je tada ekstremna vrednost minimum, odnosno maksimum.
7° Grafik funkcije f je skup tačaka u ravni xOy dat sa
Često ne pravimo razliku između stepenih i eksponencijalnih funkcija. Ali one se veoma razlikuju, kod stepenih funkcija x je u osnovim a kod eksponencijalnih u izložiocu.