28-06-2010, 08:49 PM
Maturski, seminarski i diplomski radovi iz matematike.
Matrica tipa mxn je pravougaona šema brijeva koja ima m vrsta i n kolona i zapisuje se u obliku:
Kažemo da je matrica tipa mxn, a za brojeve kažemo da su elementi matrice A.
Svi elementi matrice A sa istim prvim indeksom čine jednu vrstu matrice, na primer elementi čine i-tu vrstu matrice A.
Svi elementi matrice A sa istim drugim indeksom na primer čine jednu kolonu matrice A.
Element pripada i-toj vrsti i j-toj koloni matriceA, a to znači da se nalazi u preseku i-te vrste i j-te kolone matrice A, pa za njega kažemo da se nalazi na mestu (i,j) matrice A.
Ako su elementi matrice A iB istog tipa, za elemente ( i ) na mestu (i, j) kažemo da su odgovarajući.
Dakle ako je A= mxn i B= mxn, elementi i su odgovarajući elementi.
Za dve matrice A i B kažemo da su jednake i pišemo A=B ako i samo ako su istog tipa i ako su im odgovarajući elementi jednaki.,
To znači da su matrice A= mxni B= pxq jednake ako i samo ako je m=p, n=q i = (i=1.2….m; j=1,2….n)
Na primer:
Matrica A= je matrica tipa 2x3
Matrica B= je matrica tipa 3x3
Matrica C= je matrica tipa 4x4
Matrica D= je matrica tipa 1x4
1.1. Sabiranje matrica
Neka su A i B dve matrice istog tipa mxn. Tada je zbir matrica A i B matrica C tipa mxn, šiji su elementi jednaki zbiru odgovarajućih elemenata matrica A i B. veoma je važno naglasiti da se mogu sabirati samo matrice istog tipa.
Primer:
Neka su date matrice:
Zbir ovih matrica biće:
A+B= + =
Prema tome sabirati se mogu samo matrice istog formata i rezultat sabiranja je opet matrica istog formata.
S obzirom na svojstva računske operacije sabiranja realnih i kompleksnih brojeva, lako je proveriti da računska operacija sabiranja matrica istog formata takodje poseduje ista svojstva:
1. A+B=B+A (zakon komutacije)
2. (A+B)+C=A+(B+C) (zakon asocijacije)
3. A+0=A, gde je 0 matrica istog formata kao i matrica A
4. A+(-A)=0
1.2. Oduzimanje matrica
Razlika matrica A i B je matrica A-B čiji su elementi razlike jednako rasporedjenih elemenata i u matricama A i B. to znači da se mogu oduzimati samo matrice istog formata.
Primer:
Date su matrice:
Razlika ovih matrica biće:
A-B= - =
1.3. Množenje matrica
Neka su date dve matrice, matrica A tipa 2x2 i matrica B tipa 2x3
Proizvod matrica A i B je matrica C čiji se elementi dobijaju na sledeći način
Svaki element matrice C se može izraziti kao
Primećujemo da se mogu množiti samo one matrice kod kojih je broj kolona prve matrice A u proizvodu AxB jednak broju vrsta druge matrice B u proizvodu AxB
Primer:
Date su matrice:
, A je tipa3x2
, B je tipa 2x4
Broj kolona prve metrice odgovara broju redova druge matrice pa će proizvod biti
Matrica tipa mxn je pravougaona šema brijeva koja ima m vrsta i n kolona i zapisuje se u obliku:
Kažemo da je matrica tipa mxn, a za brojeve kažemo da su elementi matrice A.
Svi elementi matrice A sa istim prvim indeksom čine jednu vrstu matrice, na primer elementi čine i-tu vrstu matrice A.
Svi elementi matrice A sa istim drugim indeksom na primer čine jednu kolonu matrice A.
Element pripada i-toj vrsti i j-toj koloni matriceA, a to znači da se nalazi u preseku i-te vrste i j-te kolone matrice A, pa za njega kažemo da se nalazi na mestu (i,j) matrice A.
Ako su elementi matrice A iB istog tipa, za elemente ( i ) na mestu (i, j) kažemo da su odgovarajući.
Dakle ako je A= mxn i B= mxn, elementi i su odgovarajući elementi.
Za dve matrice A i B kažemo da su jednake i pišemo A=B ako i samo ako su istog tipa i ako su im odgovarajući elementi jednaki.,
To znači da su matrice A= mxni B= pxq jednake ako i samo ako je m=p, n=q i = (i=1.2….m; j=1,2….n)
Na primer:
Matrica A= je matrica tipa 2x3
Matrica B= je matrica tipa 3x3
Matrica C= je matrica tipa 4x4
Matrica D= je matrica tipa 1x4
1.1. Sabiranje matrica
Neka su A i B dve matrice istog tipa mxn. Tada je zbir matrica A i B matrica C tipa mxn, šiji su elementi jednaki zbiru odgovarajućih elemenata matrica A i B. veoma je važno naglasiti da se mogu sabirati samo matrice istog tipa.
Primer:
Neka su date matrice:
Zbir ovih matrica biće:
A+B= + =
Prema tome sabirati se mogu samo matrice istog formata i rezultat sabiranja je opet matrica istog formata.
S obzirom na svojstva računske operacije sabiranja realnih i kompleksnih brojeva, lako je proveriti da računska operacija sabiranja matrica istog formata takodje poseduje ista svojstva:
1. A+B=B+A (zakon komutacije)
2. (A+B)+C=A+(B+C) (zakon asocijacije)
3. A+0=A, gde je 0 matrica istog formata kao i matrica A
4. A+(-A)=0
1.2. Oduzimanje matrica
Razlika matrica A i B je matrica A-B čiji su elementi razlike jednako rasporedjenih elemenata i u matricama A i B. to znači da se mogu oduzimati samo matrice istog formata.
Primer:
Date su matrice:
Razlika ovih matrica biće:
A-B= - =
1.3. Množenje matrica
Neka su date dve matrice, matrica A tipa 2x2 i matrica B tipa 2x3
Proizvod matrica A i B je matrica C čiji se elementi dobijaju na sledeći način
Svaki element matrice C se može izraziti kao
Primećujemo da se mogu množiti samo one matrice kod kojih je broj kolona prve matrice A u proizvodu AxB jednak broju vrsta druge matrice B u proizvodu AxB
Primer:
Date su matrice:
, A je tipa3x2
, B je tipa 2x4
Broj kolona prve metrice odgovara broju redova druge matrice pa će proizvod biti