09-05-2010, 12:01 PM
Maturski. seminarski i diplomski radovi iz ekonomije: menadzment, marketing, finansija, elektronskog poslovanja, internet tehnologija, biznis planovi, makroekonomija, mikroekonomija, preduzetnistvo, upravljanje ljudskim resursima.
Potpuno smo svjesni da u gotovo svakoj branši ljudskih aktivnosti postoje problemi upravljanja procesima.
Navedimo neke od mogućih problema :
-optimalne raspodjele resursa;
-optimalnog rezerviranja i sl.
Primjenimo li čisto klasične metode matemtičke analize na iste, ne možemo biti sigurni da će nas dovesti do rezultata i zbog toga se morao razviti niz novih, učinkovitijih matematičkih metoda od kojih je jedna metoda dinamičkog programiranja.
Dinamičko programiranje je matematički aparat, koji omogučava optimalno planiranje višeetapnih procesa upravljanja. Iz prostog razloga što se mnogi problemi upravljanja procesima mogu predstaviti u vidu višeetapnih procesa rješenja na njih se može primjeniti metoda dinamičkog programiranja za dobijanje optimalnog plana upravljanja (Optimalno upravljanje je ono upravljanje koje daje njabolje rješenje u smislu postizanja željenog cilja operacije).
Metoda dinamičkog programiranja bazira se na korišćenju principa optimalnosti i funkcionalnih jednačina što znatno proširuje mogućnosti rješavanja realnih problema optimizacije.
Potrebno je naglasiti da je prednost metoda dinamičkog programiranja u mogućnosti korištenja računara za dobijanje numeričkih rješenja.
DEFINICIJE POTREBNIH POJMOVA
Analitički sistem definiše se kao vektor stanja
r(t) = (r1(t)r2(t)...rN(t)). (1)
Komponente vektora r(t) određuju osobine sistema, a broj N naziva se dimenzijom sistema. Veličina r(t) može biti zadata na više načina:
r(t) = W ( r(t-1)) (2)
Višeetapnost procesa
Na osnovu def. sistema može se matematički definisati pojam proces. Označimo vektor r(t) slovom p, smatrajući da je p tačka koja pripada
m-dimenzionalnom prostoru R. Neka p označava početno stanje sistema a p1, p2, ..., pn stanje sistema u uzastopnim vremenskim tenucima. Ako postoji relacija
p0 = p, pn+1 =W(pn), n=0, 1, 2, ... (3)
koja predstavlja skup vektora
(p0,p1,p2,...) (4)
kao prezentaciju ponašanja sistema u diskretnim trenucima vremena n=0, 1, 2,..., tada skup vektora (4) definiše proces tj. jednu specijalnu vrstu procesa koja se naziva višeetapni proces.
Funkcije zavisne od procesa
Najčešće se u izračunavaju višeetapnih procesa razmatraju funkcije tipa:
Rekurentne relacije
Uvedimo niz funkcija {fN(p)} , određenih na sljedeći način
fN(p) = = G(p) + G(W2(p)) + ... + G(WN(p)),
gdje N može imati vrijednosti N = 1,2,3,...
Ako razmotrimo djelomičnu sumu
G(p) + G(W2(p)) + ... + G(WN(p)), za N 1
na osnovu relacije (3) vidi se da je to isto što i
G(p1) + G(W2(p1)) + ... + G(WN-1(p1)),
a prema tome jednako sa fN-1(p1) koja je određena sa nizom funkcija {fN(p)}. Na ovaj način moguće je za slučaj funkcije (5) napisati funkcionalnu jednačinu, odnosno u ovom slučaju rekurentnu relaciju:
fN(p) = G(p) + fN-1(W(p)), N 1
f0(p) = G(p). (8)
Ovo je fundamentalna relacija u izračunavanju višeetapnih procesa.
METODA DINAMIČKOG PROGRAMIRANJA
Dinamičko programiranje može da se prikaže kao višeetapni proces dobijanja rješenja. Pojam višeetapnog proce definisanog izrazom (3) može se proširiti ako se u transformacija W uvede još jedan prametar, koji također zavisi od vremena i čijim se izborom može uticati na proces. Ako je qi naš izbor u trenutku i (i-tom koraku procesa), tada je proces definisan nizom vektora
pn+1 = W (pn,qn), n = 0,1, ..., N. (9)
Izbor veličine qi naziva se određivanje dopustivog rješenja.
Najčešće se razmatraju procesi u kojima se qi izabira sa izvjesnim ciljem, na primjer, da se maksimizira neka funkcija koja je povezana sa procesom i zavisi od stanja sistema i rješenja. Najčesšći oblik takve funkcije je :
F ( p, p1 ,p2 , ..., q0 , q1 , ...),
I ona se naziva funkcija cilja ili kriterijum.
N-etapni proces dobijanja rješenja je opisan nizom vektora
[ p, p1, p2, …, pn+1, q0, q1, …, qN], gdje je
pn+1 = W (pn,qn), za 0 n N.
Skup dopustivih rješenja [ q0, q1, …, qn ] takvih, da je
qn = qn ( p, p1, …, pn, q0, q1, …, qn-1 ), (10)
naziva se strategijom. Strategija koja maksimizira funkciju cilja F naziva se optimalnom strategijom. Dinamičko programiranje ima za cilj da se za određene procese, za koje je zadata funkcija cilja F, odredi optimalna strategija. Postoje uslovi koje treba da ispuni funkcija F da bi se moglo doći do optimalne strategije. U nizu slučajeva potrebna je izvjesna izmjena u formulaciji ili neka dosjetka da se ostvari neophodni oblik funkcije cilja. Ti uslovi se odnose na razdvajanje prošlog od sadašnjeg. Ovo su česti primjeri kriterijuma koji ispunjavaju navedene uslove:
a.)
b.) G(pN), (terminalno upravljanje)
c.) max G( pk, qk )
Potpuno smo svjesni da u gotovo svakoj branši ljudskih aktivnosti postoje problemi upravljanja procesima.
Navedimo neke od mogućih problema :
-optimalne raspodjele resursa;
-optimalnog rezerviranja i sl.
Primjenimo li čisto klasične metode matemtičke analize na iste, ne možemo biti sigurni da će nas dovesti do rezultata i zbog toga se morao razviti niz novih, učinkovitijih matematičkih metoda od kojih je jedna metoda dinamičkog programiranja.
Dinamičko programiranje je matematički aparat, koji omogučava optimalno planiranje višeetapnih procesa upravljanja. Iz prostog razloga što se mnogi problemi upravljanja procesima mogu predstaviti u vidu višeetapnih procesa rješenja na njih se može primjeniti metoda dinamičkog programiranja za dobijanje optimalnog plana upravljanja (Optimalno upravljanje je ono upravljanje koje daje njabolje rješenje u smislu postizanja željenog cilja operacije).
Metoda dinamičkog programiranja bazira se na korišćenju principa optimalnosti i funkcionalnih jednačina što znatno proširuje mogućnosti rješavanja realnih problema optimizacije.
Potrebno je naglasiti da je prednost metoda dinamičkog programiranja u mogućnosti korištenja računara za dobijanje numeričkih rješenja.
DEFINICIJE POTREBNIH POJMOVA
Analitički sistem definiše se kao vektor stanja
r(t) = (r1(t)r2(t)...rN(t)). (1)
Komponente vektora r(t) određuju osobine sistema, a broj N naziva se dimenzijom sistema. Veličina r(t) može biti zadata na više načina:
r(t) = W ( r(t-1)) (2)
Višeetapnost procesa
Na osnovu def. sistema može se matematički definisati pojam proces. Označimo vektor r(t) slovom p, smatrajući da je p tačka koja pripada
m-dimenzionalnom prostoru R. Neka p označava početno stanje sistema a p1, p2, ..., pn stanje sistema u uzastopnim vremenskim tenucima. Ako postoji relacija
p0 = p, pn+1 =W(pn), n=0, 1, 2, ... (3)
koja predstavlja skup vektora
(p0,p1,p2,...) (4)
kao prezentaciju ponašanja sistema u diskretnim trenucima vremena n=0, 1, 2,..., tada skup vektora (4) definiše proces tj. jednu specijalnu vrstu procesa koja se naziva višeetapni proces.
Funkcije zavisne od procesa
Najčešće se u izračunavaju višeetapnih procesa razmatraju funkcije tipa:
Rekurentne relacije
Uvedimo niz funkcija {fN(p)} , određenih na sljedeći način
fN(p) = = G(p) + G(W2(p)) + ... + G(WN(p)),
gdje N može imati vrijednosti N = 1,2,3,...
Ako razmotrimo djelomičnu sumu
G(p) + G(W2(p)) + ... + G(WN(p)), za N 1
na osnovu relacije (3) vidi se da je to isto što i
G(p1) + G(W2(p1)) + ... + G(WN-1(p1)),
a prema tome jednako sa fN-1(p1) koja je određena sa nizom funkcija {fN(p)}. Na ovaj način moguće je za slučaj funkcije (5) napisati funkcionalnu jednačinu, odnosno u ovom slučaju rekurentnu relaciju:
fN(p) = G(p) + fN-1(W(p)), N 1
f0(p) = G(p). (8)
Ovo je fundamentalna relacija u izračunavanju višeetapnih procesa.
METODA DINAMIČKOG PROGRAMIRANJA
Dinamičko programiranje može da se prikaže kao višeetapni proces dobijanja rješenja. Pojam višeetapnog proce definisanog izrazom (3) može se proširiti ako se u transformacija W uvede još jedan prametar, koji također zavisi od vremena i čijim se izborom može uticati na proces. Ako je qi naš izbor u trenutku i (i-tom koraku procesa), tada je proces definisan nizom vektora
pn+1 = W (pn,qn), n = 0,1, ..., N. (9)
Izbor veličine qi naziva se određivanje dopustivog rješenja.
Najčešće se razmatraju procesi u kojima se qi izabira sa izvjesnim ciljem, na primjer, da se maksimizira neka funkcija koja je povezana sa procesom i zavisi od stanja sistema i rješenja. Najčesšći oblik takve funkcije je :
F ( p, p1 ,p2 , ..., q0 , q1 , ...),
I ona se naziva funkcija cilja ili kriterijum.
N-etapni proces dobijanja rješenja je opisan nizom vektora
[ p, p1, p2, …, pn+1, q0, q1, …, qN], gdje je
pn+1 = W (pn,qn), za 0 n N.
Skup dopustivih rješenja [ q0, q1, …, qn ] takvih, da je
qn = qn ( p, p1, …, pn, q0, q1, …, qn-1 ), (10)
naziva se strategijom. Strategija koja maksimizira funkciju cilja F naziva se optimalnom strategijom. Dinamičko programiranje ima za cilj da se za određene procese, za koje je zadata funkcija cilja F, odredi optimalna strategija. Postoje uslovi koje treba da ispuni funkcija F da bi se moglo doći do optimalne strategije. U nizu slučajeva potrebna je izvjesna izmjena u formulaciji ili neka dosjetka da se ostvari neophodni oblik funkcije cilja. Ti uslovi se odnose na razdvajanje prošlog od sadašnjeg. Ovo su česti primjeri kriterijuma koji ispunjavaju navedene uslove:
a.)
b.) G(pN), (terminalno upravljanje)
c.) max G( pk, qk )