Vaznije osobine kruga

Maturski, seminarski i diplomski radovi iz matematike.

Ovaj tekst, iako je seminarski rad, ima za cilj da sažeto predstavi najvažnije pojmove i osobine vezane za krug. Ovaj tekst je pisan pre svega za čitaoce koji su već usvojili pojam kruga i veći deo njegovih osobina, sa namerom da im ovaj tekst bude podsetnik na sve važnije osobine kruga. Pored toga, u ovom tekstu su navedeni i pojmovi kao što su osnosimetrično preslikavanje, pramen konkurentnih pravih, polarne koordinate i dr. Tako da čitalac može da se podseti i nekih bazičnih pojmova iz kojih su izvedene osobine kruga, u cilju lakčeg razumevanja teksta.
Naravno, tekst počinje definicijama kruga koje se najčešće pojavljuju u toku školovanja. Pokazaćemo da sve te definicje predstavljaju isti pojam kruga., i usvojićemo jednu od njih (najjednostavniju) i uglavnom na osnovu nje ćemo zasnivati dalji tekst, ukoliko nije drugačije naglašeno. U daljem tekstu su istaknuti osnovni pojmovi vezani za krug, kao što su: prečnik, tetiva, kružni luk i dr.
Takođe, navešćemo neke bitine, najčešće korišćene teoreme, koje bi trebalo da budu od koristi za savladavanje osnovnih osobina kruga, kao što je osobina da istim centrom i poluprečnikom zadajemo isti krug i sl. Ove teoreme možemo koristiti i u zadacima u kojima se zahteva konstrukcija kruga sa određenim osobinama. Napomenuću, da su kostrukcije kruga opisanog oko trougla i upisanog u trougao, kao i konstrukcije krugova opisanih i upisanih u pravilne mnogouglove, namerno izostavljene iz ovog tekste, jer bi tekst prevazišao svoj cilj, a to je kratak pregled osnovnih osobina kruga. Naravno, iz osobina navedenih u ovom tekstu može se zaključiti kako se konstruišu gore pomenuti opisani i upisani krugovi.
U tekstu se između ostalog izdvajaju i pojmovi potencije, radikalne ose i inverzije u odnosu na krug kao pojmovi koji mogu biti od velike koristi pri konstrukciji krugova, pravih i tačaka, koji su u međusobno specifičnom položaju. Osobine tih pojmova kao i način konstrukcije dati su teoremama. Naravno, ovde su predočeni i načini najčešće korišćenih konstrukcija, kao što je konstrukcija tangete na krug iz date tačke.
Kao što rekoh na početku sve su to osnovni pojmovi i konstrukcije i njihovo navođenje u ovom tekstu i ima za cilj brzo podsećanje čitaoca na osnovne osobine kruga.
Posto je često potrebno u izračunavati obim i površinu kruga, u ovom tekstu je i to navedeno, gde je osim formula, ukratko opisan i nacin na koji je Arhimed došao do formula površine i obima kruga.
Kako živimo u eri računaru, navedene su formule za predstavljanje kruga koordinatama, pomoću kojih krug možemo opisati na računarskom jeziku i sa njime, preko tih koordinata, efektivno raditi u računarskom programiranju. U tom, cilju uvedene su prvo polarne koordinate i način predstavljanja kruga u polarnim koordinatama, a zatim iz njih izveden način predstavljanja kruga u Dekartovim koordinatama. U ovom delu sa koordinatama, date su i formule za izračunavanje površina kružnog isečka i odsečka, kao i formule za izračunavanje dužine kružnog luka. Ovde nećemo obrađivati način izvođenja tih formula, jer se one na osnovu prethodnih osobina i definicija pojmova vezanih za krug mogu lako izvesti, a opet kazem, ovde je cilj samo kratak pregled osobina kruga.

Deo sa formulama bio bi i zaključni deo ovog teksta, jer se u njemu mogu naći najčešće korišćene osobine vezane za krug, jer ljudima najčešće treba obrzac po kome ce izračunati neki zadatak.

1. Definicije kruga i osnovni pojmovi vezani za krug

1.1 Definicije kruga

Starogrčki matematičar Euklid je u I knjizi svog dela “Elementi” definisao krug na sledeći način:
Def. 1.1.1
Krug je ravna figura omeđena takvom jednom linijom (koja se zove periferija), da su sve prave povučene od jedne tačke, koja se nalazi u samoj figuri, prema toj liniji (prema periferiji kruga) međusobno jednake (sl. 1.1.1).

Podsetimo samo, da je Euklid pravama zvao i duži, pa shodno tome u njegovoj definiciji kruga, prave su shvaćene kao duži. To je, naravno najprostija i najviše intuitivna definicija kruga, pa se zato koristi u osnovnim, pa i u srednjim školama, s tim što je malo preformulisana:

Krug je skup tačaka koje su pojednako udaljene od neke fiksne tačke, koju zovemo centar kruga.

Premetimo sledece, gore navedene definicije se oslanjaju na pojam mere. Naime, potrebno izmeriti duži da bi utvrdili da li su jednake. Matematički aparat za merenje nije razvio ni Euklid niti se to radi u osnovnim i srednjim školama (u srednjim školama se radi u vidu integrala, ali tek pošto se savlada pojam kruga), pa je malo neosnovano pozivati se u definicijama na pojam mere koji nije usvojen. Naravno, lakše je pričati osnovcima i srednjoškolcima o krugu u okviru navedenih definicija, jer oni još nisu dovoljno razvili moć apstraktnog razmišljanja, a i usvojili su pojam mere kroz merenja raznim instrumentima (santimetrom, uglometrom i sl.), te mogu na intuitivan način zaključiti šta je krug i koja su njegova svojstva, a samim tim mogu sa njime i baratati.
Kako je geometrija zasnovana na aksiomama koje govore o odnosu osnovnih geometrijskih pojmova: tačaka, pravih i ravni, oseća se potreba da se krug definiše u skladu sa tim aksiomama. U tom cilju prvo uvodimo definiciju osnosimetričnog preslikavanja i definiciju pramena pravih , i konačno definiciju epicikla, a zatim i kruga. Pri tome nećemo se obazirati na postojanje različith tipova pramenova i epicikala (za detalje o pramenovima i osnosimetričnom preslikavnju videti [1]), već ćemo se ograničiti na nama potrebne pramenove, tj. na konkurentne pramenove i epicikle.

Konkurentini pramen pravih je skup svih pravih kojima je tacka O zajednička i jedina zajednička tačka.

Neka je A tačka nekog geometrijskog skupa tačaka (npr. prave), i neka je s proizvoljna prava. Neka je m prava kroz tačku A upravna na pravoj s, i označimo presečnu tačku pravih m i s sa P (sl. 1.1.2). Ako je A’ tačka na pravoj m takva da je duž A’P podudarna sa duži AP, tada kažemo da je A’ osnosimetrična tačka tačke A, a pravu s nazivamo osom simetrije.

Neka je pramen pravih i X proizvoljna tačka u ravni tog pramena koja ne pripada svim pravama pramena . Skup svih tačaka ravni , osnosimetričnih tački X u odnosu na prave pramena zvaćemo epiciklom i obeležavaćemo ga sa (,X) (sl. 1.1.3).
Ako je pramen konkuretnih pravih, epicikl zvaćemo krugom.

Tačke X i X’ pripadaju nekoj pravoj pramena, jer postoje jedinstvene prave, po aksiomama pripadnosti, koji sadrže O i X i, O i X’.

Neka je pramen konkuretnih pravih i neka se te prave seku u tački O. Neka je tačka X iz gornje definicije epicikla. Tada je tačka X različita od O. Intuitivno, shavtamo da su tačke X i O na izvesnom rastojanju. Označimo sa X’ sliku tačke X u osnoj simetriji u odnosu na pravu a. Kako je po prirodi osne simetrije, X’ jedanko udaljena od ose preslikavanja kao i sama tacka X, tada je na osnovu teoreme o podudarnosti trouglova X’ na istom rastojanju od O kao i tacka X.
U skladu sa definicijom epicikla to važi za svaku tačku koja je slika tačke X, pa važi da su slike tačke X epicikla sa pramenom konkuretnih pravih na istom odstojanju od fiksne tačke O, tj. epicikl je ustvari krug iz definicija 1.1.1 i 1.1.2. Shodno s tim, u daljem tekstu cemo se oslanjati na definiciju 1.1.2.