Trisekcija ugla

Maturski, seminarski i diplomski radovi iz matematike.

Tokom poslednjih vijekova drugog milenijuma prije nove ere u bazenu Sredozemnog mora i u susjednim oblastima nastupile su veoma velike promjene u ekonomskom i političkom životu. Bronzano doba zamijenjeno je gvozdenim i pri kraju te epohe, otprilike 900. god. p.n.e. već je nastalo carstvo Minosa i Kretska država, a Egipat i Vavilonija su veoma oslabili. Na scenu su stupili novi narodi, a vodeći među njima bili su Jevreji, Asirci, Feničani i Grci.
Gradovi koji su nastali na obali Male Azije i u samoj Grčkoj, nisu više bili administrativni centri zemalja u kojima se razvijala irigaciona zemljoradnja. To su bili trgovački gradovi u kojima je, tokom VII i VI vijeka p.n.e. trgovački stalež izbio na površinu. Nastupio je procvat grčkih polisa - samoupravnih gradova - država - što je predstavljalo novu društvenu pojavu. Najznačajniji gradovi - države nalazili su se u Joniji, na Atalonskoj obali, ali i gradovi na drugim obalama, kao sto su Korint, Atina, Kroton, Tarent, Sirakuza i drugi postali su sve bogatiji i značajniji. Novi društveni poredak stvorio je i novi tip čovjeka. Trgovac - putnik nikada još nije bio tako nezavisan, a osim toga imao je i slobodnog vremena s obzirom na svoje bogatstvo i rad robova, pa je mogao razmišljati o svijetu koji ga je okruživao.
Savremena matematika nastala je u atmosferi jonskog raciona-lizma. To je bila matematika koja nije postavljala samo istočnjačko pitanje kako ? već i savremeno naučno pitanje zašto ? Prema predanju, otac grčke matematike je miletski trgovac Tales, koji je u prvoj polovini VI vijeka putovao u Vaviloniju i Egipat. Iako je on možda potpuno legenadrna ličnost, ipak je iza nje ostalo nešto potpuno realno. To simbo-liše situaciju u kojoj su udareni temelji ne samo savremene matematike već i cjelokupne savremene nauke i filozofije.
U početku su se Grci bavili matematikom imajući jedan osnovni cilj - da se shvati kakvo mjesto zauzima čovjek u vasioni, i to u okviru neke racionalne sheme. Matematika je doprinijela da se uspostavi red u tom haosu, da se ideje povežu u logičke nizove i da se otkriju osnovni principi. Ona je u poređenju sa ostalim naukama dostigla najviši nivo teorijskog razvitka. Nesumljivo je da su grčki trgovci, na svojim putovanjima, upoznali istočnjačku matematiku, međutim, brzo su ustano-vili da se ljudi Istoka uopšte nisu bavili teorijom.
Na žalost, ne postoje podaci o tom ranom periodu razvitka grčke matematike. Klasična filologija je pomogla da se rekonstruišu tekstovi tek iz IV v. p.n.e., kao i tekstovi iz bližeg perioda. Zahvaljujući tome imamo solidna izdanja dela Euklida, Arhimeda, Apolonija i drugih velikih antičkih matematičara. Međutim, ti tekstovi sadrže već potpuno izgrađnu matematičku nauku, pa je teško, čak i pomoću kasnijih komentara, pratiti tok istorijskog razvitka. Iz tog perioda je do nas dospio u cjelini samo jedan matematički fragment, koji pripada jonskom filozofu Hipokratu sa Hiosa. Način matematičkog razmišljanja u tom fragmentu je na veoma visokom nivou. Karakteristično je da se u njemu razmatra jedno sasvim "nepraktično", ali teorijski suštinsko pitanje o tzv. polumjesecima, tj. ravnim figurama koje su ograničene sa dva kružna luka. Zadatak se sastojao u nalaženju površina tih polumjeseca, racionalno izraženih pomoću prečnika, u direktnoj je vezi sa centralnim problemom grčke matematike - kvadraturom kruga. Hipokratova analiza tog problema pokazuje da su matematičari tog toba Grčke već bili izgradili sistem ravne geometrije, gdje je u potpunosti primjenjivan princip logičkog zaključivanja od jednog tvrđenja ka drugom (apagoge). Na osnovu naziva knjige koja se pripisuje Hipokratu Elementi (Stoicheia) može se zaključiti da su bili udareni temelji aksiomatike. Takav naziv imali su svi grčki aksiomatski traktati, uključujući i Euklidov.
Problem kvadrature kruga je jedan od "tri značajna matematička problema antike", koji su se u to vrijeme počeli proučavati. Ti problemi su sledeći:
1. Trisekcija ugla, tj. podjela ma kog datog ugla na tri jednaka dijela;
2. Udvostručenje kocke, tj. određivanje ivice kocke koja bi imala zapreminu dvaput veću od zapremine date kocke (tzv. delfijski problem);
3. Kvadratura kruga, tj. nalaženje takvog kvadrata čija bi površina bila jednaka površini datog kruga.

Značaj tih problema je u tome što se oni ne mogu tačno riješiti geometrijski pomoću konačnog broja konstrukcija pravih linija i kru-žnica. To se može učiniti samo približno, pa su zbog toga ti problemi inicirali ulaženje u nove oblasti matematike. Prva dva problema obično su svođenja na nalaženje dvije duži, x i y, iz a : x = x : y = y : b, gdje su a i b date duži. Ovaj zadatak je proširenje zadatka u kome se traži x iz a : x = x : b, tj. geometrijska sredina, ali dvostruka geometrijska sredina ne može se naći samo pomoću šestara i lenjira. U vezi sa proučavanjem tih problema bili su otkriveni konusni presjeci, neke krive trećeg i četvrtog reda i transcendentna kriva koja je nazvana kvadratisa.

TRISEKCIJA UGLA

Ponovimo još jedanput u čemu se sastoji problem trisekcije ugla: Potrebno je proizvoljan ugao podijeliti na tri jednaka dijela koristeći samo šestar i lenjir (elementarna konstrukcija).
Podijeliti prav ugao na tri dijela je prilično jednostavno, međutim podjela proizvoljnog ugla je privlačila pažnju i zbunjivala mnoge mate-matičare. Problem vjerovatno vodi porijeklo od potrebe da se u krug upi-še pravilni poligon proizvoljnog broja strana.
Postojalo je više različitih načina za rješavanje. Vjerovatno najpo-znatiji pokušaj u Grčkoj je uradio Nicomedes (c. 180 p.n.e). On je kori-stio krivu pod nazivom konkoid.
Kroz fiksiranu tačku O, koja je na udaljenosti d od prave AB ko-nstruišemo pravu OX paralelnu pravoj AB i normalu na OX . Na pravoj OA obilježimo tačke P i P' takve da je AP=AP'=k, konstanta. Pozicije tačaka P i P' određuju konkoid.
U zavisnosti od toga da li je k<d, k>d ili k=d, O je tačka, vrh ili konjugovana tačka. Jednačina krive je : (x² + y²)(y - d)² - k²y² = 0
Da bi izvršili trisekciju uradimo sledeće: Neka je YOA početni ugao. Kroz A konstruišimo AB normalno na OY. Iz tačke O kao pol, sa AB kao fiksiranom pravom i 2AO kao konstantnim rastojanjem opišimo konkoid da presiječe OA u tački P i OY u tački Q. Iz A konstruišimo normalu na AB i u presjeku sa krivom označimo tačku T. Prava OT siječe AB u tački N i neka je M središte NT. Tada je MT = MN = MA. Ali je takođe NT=2OA po konstrukciji, onda je i MA=OA i AOM = 2/3 YOA i TOQ = 1/3 YOA.
Drugi način je preko kvadratise: Grčki geometar po imenu Hipia, vjerovatno Hipija iz Elisa (c 425 p.n.e.), pronašao je krivu koju je koristio