Pitagorina teorema

Maturski, seminarski i diplomski radovi iz matematike.

Pitagora (oko 570 pr. n. e. ) je poreklom sa ostrva Samosa. Poznat je kao grčki filozof i matematičar. U mladosti je mnogo putovao i pri tom sakupljao znanja iz matematike, starih naroda koji su živeli u tim zemljama, i ne samo matematike već i astronomije. Po odlasku iz rodnog mesta živio je i delovao u gradu Kroton na jugu Italije. Osnovao je i školu, poznatiju kao ‘Pitagorejski savez’ koju su činili obdareni mladići njemu privrženi. U toj školi bavili su se teorijom brojeva, osnovama grčke algebre i izučavali proporcije i progresije.
Pitagora je na svoje sledbenike preneo „pitagorejski način života” koji, pored posebnog načina odevanja, ishrane, obuhvata i rad na formiranju matematike, teorije muzike i astronomije. O tome govori Platon koji je takođe bio pitagorejac. [ 5 ]
U geometriji poseban značaj pridaje se teoremi koja nosi Pitagorino ime, a glasi:
Zbir površina kvadrata konstruisanih nad katetama kao stranicama jednak je površini kvadrata konstruisanog nad hipotenuzom kao stranicom.
Odnosno, ako su a i b merni brojevi dužina kateta i c merni broj dužine hipotenuze, izražene istom jedinicom za dužinu, onda je

a2 + b2 = c2

Jedna od legendi kazuje da je Pitagora, za ovu teoremu, prineo kao žrtvu bogovima stotinu bikova, pa se zbog toga ova teorema u srednjem veku nazivala gekatomba, što u prevodu znači sto bikova. Međutim, nije razrešeno pitanje da li je Pitagora pronašao ovu teoremu ili je ona rezultat njegove škole ili je možda bila poznata i pre Pitagore, jer je poznato da su još u starom Egiptu, na 2000 i 3000 godina pre naše ere, znali da je trougao sa stranicama 3, 4 i 5 jedinica pravougli trougao i ovo koristili za obrazovanje pravog ugla na tlu. Danas se zna da su pravougli i trouglovi u kojima su merni brojevi dužina stranica sledeći prirodni brojevi:
5,12,13; 8,15,17; 7,24,25; 20,21,29; 12,35,37; 9,40,41; 28,45,53; 11,60,61; 16,63,65; 33,56,65; 48,55,73; 13,84,85; 36,77,85; 39,80,89; itd. [ 8 ]
Jedan od fenomena Pitagorine teoreme je i u tome što, uz različite interpretacije, ima široku primenu. Danas je poznato oko stotinu dokaza Pitagorine tereme za proizvoljan pravougli trougao, a ovde navodim nekoliko najpoznatijih.

1. DOKAZI PITAGORINE TEOREME

1.1. EUKLIDOV DOKAZ

S obzirom da Pitagora nije zapisao dokaz svoje teoreme, ne možemo znati u kom smislu je on shvatao njezinu primenu i zato prihvatamo Euklidovu interpretaciju datu u 47. stavu I knjige “Elementi”. Tamo je Pitagorina teorema formulisana na sledeći način:
Kod pravouglih trouglova je kvadrat na strani spram pravog ugla (na hipotenuzi) jednak kvadratima na stranama koje obrazuju prav ugao (na katetama).

Neka je AB pravougli trougao sa pravim uglom BA. Tvrdim da je kvadrat na B jednak kvadratima na BA i na A.