Odredjeni integrali

Maturski, seminarski i diplomski radovi iz matematike.

Integral je jedan od najvažnijih pojmova matematičke analize. Postoji više vrsta integrala, među kojima su najpoznatiji neodređeni, određeni, Stiltjesov itd. Neodređeni integral se uvodi kao funkcija u izvesnom smislu inverzna diferenciranju, odnosno kao skup svih primitivnih funkcija za funkciju koja se integrali. Određeni (ili Rimanov) integral se uvodi pomođu tzv. integralnih suma. Iako je proučavanje ovih integrala u početku teklo nezavisno, čuvena je formula koja uspostavlja vezu između njih- Njutn-Lajbnicova formula.

ODREĐENI INTEGRAL

Za razliku od neodređenog integrala koji je skup funkcija (definicija 1.2, određeni integral je realan broj. Taj broj je dobiven iz podintegralne funkcije i intervala na kojem tu funkciju promatramo, a način na koji se računa, kao i njegove primjene, tema su ovog poglavlja. Premda su, dakle, neodređeni i određeni integral dva različita matematička objekta, među njima postoji jaka veza.

POJAM I OSOBINE ODREĐENOG INTEGRALA

Ako se podeli interval [a.b], proizvoljno na n podintervalata tačkama podela
Neka je f(x) definisana i ograničena pozitivna funkcija u intervalu [a.b]. Oblast ravni ograničena delom grafita funkcije y= f(x) nad itervalom [a.b], prema x=a , x=b i intervalom [a.b] ose Ox , predstavlja krivolinijski trapez ABCD. Postavlja se zadatak određivanja površine krivolinijskog trapeza ABCD.
a = x0. x1. x2.......xn-1 ..xn = b
gdje je
x0 < x1 < x2 . . . . < xn-1 < xn
tada se dobijaju podintervali različitih dužina. Dužine se označavaju redom sa Δx1..Δx 2 .... Δxn tj. x1- x0 = Δx1 ; x2 - x1 = Δx 2
Neka su m1. m2 ..... mn....m0
Najmanje vrednosti funkcije ,a
M1..M2.....Mn......Mk
Najveće vrijednosti funkcie u podintervalima
(x0. x1)..( x1. x2)....(xk-1. xk).....( xn-1.. xn)
neka se posmatraju sljedeći zbirovi :
P= m1*Δx1+ m2*Δx2 + mk*Δxk+ . . . . + mn*Δxn =∑ m1*Δx1
P=M 1 *Δx1 + M 2 *Δx2......... + M k *Δxk + M n *Δxn =∑M 1 *Δx1
Suma P se naziva donja integralna suna, a suma P gornja integralna suma .
P predstavlja površinu stepenasto opisanog poligona oko krivolinijskog trapeza ABCD, a P predstavlja površinu stepenasto opisanog poligona u krivolinijski trapez ABCD. Ako se sa P označava povšina krivolinijskog trapeza ABCD, tada važi nejednakost.
P≤P≤P.
tj. površina traženog krivolinijskog trapeza se nalazi izmedju površine stepenasto upisanog i stepenasto opisanog poligona za svaku podelu intervala (a,b). Ako se broj podintervala stepenasto upisanog i opisanog poligona u krivolinijski trapez ABCD konvergiraju konačnoj i odredjenoj zajedničkoj vrednosti, površini krivolinijskog trapeza ABCD, a njihova granična vrednost je
lim P = lim P = P
tj. površina krivolinijskog trapeza ABCD.
Vrednost P se zove odredjeni integral funkcije f(x) u intervalu (a,b) u Rimanovom
ih Rimanov integral i obeležava se ∫f(x)dx, a izračunava se kao ∫f(x)dx = F(x) = F(b) – F(a) gdje je F(x) = f(x).
Ova formula se zove Njutna-Lajbincova formula i predstavlja vezu izmedju odredjenog i neodredjenog integrala. Simbol ∫f(x)dx čita se kao odredjeni integral funkcije f(x) u granicama od a do b.
Prilikom definisanja odredjenog integrala zbog lakšeg razumevanja korišćen je geometrijaki prilaz, ali kao što se to može primeniti iz gornjih formula odredjeni integral predstavlja graničnu vrednost jednog zbira.
Funkcija koja ima integral u intervalu (a,b), je integrabilna funkcija u tom intervalu.
Osnovne osobine odredjenog integrala su sledeće:
1. Ako je funkcija y=(x) intergrabilna u intervalu (a,b) i c€(a.b). tada je
∫f(x)dx= ∫f(x)dx + ∫f(x)dx

2. Ako je funkcija y=f(x) intergrabilna u intervalu (a,b) tada je:
∫f(x)dx=-∫f(x)dx

3. Ako je funkcija y=f(x) intergrabilna i nenegativna (nepozitivna) u intervalu (a,b) ,tada je :
∫f(x)dx≥0 (∫f(x)dx ≤0)