O konstruktivnim zadacima u ravni

Maturski, seminarski i diplomski radovi iz matematike.

Matematička znanja u drevnim civilizacijama: Vavilona i Egipta, Kine i Indije iznikla su izpraktičnih potreba čoveka toga doba. Na primer, reka Nil je Egipčanima svake godine plavila zemljište, pa su bili prinudjeni da ga nakon povlačenja vode ponovo premeravaju. U tim merenjima oni su se susretali sa raznim geometrijskim figurama: trougao, četvorougao i dr. Mereći godinama, oni su došli do obrazaca za površinu tih figura. Znali su, dakle odgovor kako izračunati površine raznih geometrijskih figura. Pitanje zašto je to tako, njih nije interesovalo. Odgovor na ovo pitanje počinju da daju grci, počev od VII veka pre nove ere.

Javljaju se filosofsko – matematičke škole, koje počinu da podižu matematiku na nivo nauke. Prva takva škola jeste Jonska škola čiji je začetnik Tales (624-547. godina pre nove ere). Peti i četrvrti vek pre nove ere obeležava Atinska škola sa Akademijom platona i Licejom Aristotela.

Platon je rodjen u Atini 427 godine pre nove ere ili u trećoj godini 87 olimpijade (olipijada je vreme od 4 godine. Stari Grci su po njima računali vreme, počinjući od 776. godine pre nove ere). Pravo ime mu je bilo aristotes, a priča se da mu je ime Platon dao Ariston, njegov učitelj gimnastike. Pošto je bio iz Aristokratske porodice, Platon je imao dovoljno sredstava za putovanja. Na putovanjima, upoznao je nauku svoga doba, a naročito se interesovao za nauku kojom se bavio Pitagora i njegovi sledbenici.

U maldosti, sve do svoje dvadesete godine, Platon pokušava da se dokaže u pisanju tragedije. Poštavši Sokratov učenik, on ubrzo postaje veliki mislilac.

Platon u Grčkoj osniva filozofsko-matematičku školu koja se zvala Akademija. Škola se nalazila u velikom parku i imala je:imanje, vežbalište, učionice i svoju biblioteku. U nju su primani muškarci koji su bili spremni da život podrede učenju i težnji za znanjem. Vidno mesto u Platonovoj Akademiji zauzimala je matematika, a naročito geometrija. O tome je svedočio natpis na ulazu u Akademiju:’’Neka ne ulazi onaj ko nezna geometriju!’’matematika se u Akademiji konstituiše kao nauka. Da bi neko mogo da se bavi bilo kojom naukom, a naročito filozofijom morao je da zna matematiku. U Akademiji se razrađuju metode rešavanja konstruktivnih zadataka. Platon priznaje rešavanje konstuktivnih zadataka samo uz pomoć lenjira (bez skale) i šestara. On prvi svata da rešavanje konstruktivnih zadataka iziskuje veliki proces mišljenja, što doprinosi razvoju logičkog mišljenja. Veoma su poznata tri zadatka kojima je na Akademiji posvećivano velika pažnja:
1. Kvadratura kruga: šestarom i lenjirom konstruisati kvadrat čija je površina jednaka površini datog kruga.
2. Udvajanje kocke (Delfijski problem): šestarom i lenjirom konstruisati ivicu kocke čija je zapremina dvaputa veća od zapremine date kocke.
3. Tri sekcija ugla: šestarom i lenjirom podeliti proizvoljan ugao na tri jednaka dela.

Ovim zadacima bavili su se mnogo vekova kasnije, mnogi znani i neznani, ali je tek u prošlom veku dokazano da oni ne mogu biti rešeni lenjirom i šestarom.

Platon prvi uvodi u matematiku definicije, ali ih ne tumači. Takodje uvodi formulisanje teorema i njihovo dokazivanje. Najstariji dokaz čuvene Pitagorine teoreme sačuvan je u jednom Platonovom delu. Platon je napisao 34 dialoga i 13 pisama. Većina dela su uglavnom sačuvana. Najznačajnija su: gozba, protagora, parmenid, fedon, zakoni, država i dr.

On u matematici nije značajan kao Arhimed ili Euklid, ali zahvaljujući njemu matematika nalazi mesto ljudskoj misli, postaje orudje koje omogućava lakše bavljenje svim drugim misaonim delatnostima.

KONSTATIVNI ZADACI U RAVNI

Konstutivni zadaci koji se rešavaju samo uz pomoć lenjira i šestara rešavaju se i danas u našim školama. Rešavanje konstruktivnog zadatka je komplekan problem, koji pre svega zahteva dobro predznanje, to jest dobro poznavanje odgovarajuće teorije. Treba dobro znati ’’dokazivanje’’, jer se konstrukcija mora dokazati. Rešavanje konstruktivnih zadataka je jedan od važnih faktora u izučavanju geometrije. I ne samo to. Često potpuno poznavanje svih onih stavova geometrije na koje se oslanja neki zadatak ne obezbedjuje uspeh u njegovo rešavanje. A ovo je zbog toga, što pored znanja i najfiniji momenata suptilne logike, rešavanje mnogih konstruktivnih zadataka iziskuje veoma složene procese mišljenja.

Medjutim ta osobina uma ima potencijalni karakter kao ni jedna druga oblast matematike da razvije u toj meri logičko mišljenje kao baš geometrija u opšte, a rešavanje konstruktivnih zadataka naročito.

Konstruktivni zadatak sastoji se u sledećem: date su neke figure F1, ...,Fk
Zahteva se da se konstruiše figura F koja je u odredjenom odnosu sa datim figurama, upotrebljavajući pri tome samo šestar i lenjir sa jednom ivicom bez skale.