Niz i granicna vrednost niza

Maturski, seminarski i diplomski radovi iz marketinga.

Uopsteno, niz možemo zamisliti kao objekte poredane po nekom pravilu, tako da uvijek znamo tko je prethodnik i sljedbenik svakog objekta u redu (osim eventualno prvog i zadnjeg).
Uzmimo za primjer razred od dvadeset učenika koji su poredani po abecednom redu. Za svakog od učenika znamo tko je "prije" njega (osim kod prvog), a tko "poslije" (osim kod zadnjeg). To možemo zamisliti kao da smo svakom od brojeva iz skupa {1,2,3,...,20} pridružili po jednog učenika.
Sličan primjer su i dani u nedjelji (brojevima od 1 do 7 pridruženi su prvi dan, drugi dan,...).
Takvi primjeri motiviraju matematičku definiciju niza: funkciju zovemo niz u skupu S.
Dakle, niz je funkcija kojoj je domena skup prirodnih brojeva, a kodomena neki skup S. U prvom našem primjeru, skup S bi mogao biti {"Učenici razreda"}, a u drugom {"Dani u nedjelji"}.
Granična vrijednost niza je jedan od najstarijih koncepta u matematckoj analizi. On nam nudi strogu definiciju ideje da niz konvergira prema određenoj tački koju nazivamo granična vrijednost (limes).

1.Pojam niza

Definicija 1.1. Neka je neprazan skup skupa . Funkcija zove se niz u .
Niz se obiljezava i sa vrijednost Izrazi ili su clanovi niza,i nazivaju se: prvim,drugim,...,n-tim ili opstim clanom niza,respektivno.
Ako je domena niza konacan skup,za niz se kaze da je konacan.Ako je domena niza skup prirodnih brojeva za niz se kaze da je boskonacan .
Da bi niz bio poznat dovoljno je poznavati opsti clan niza, tj. zakon ostvarenja opsteg clana niza .Tako na primjer za niz
1,4,9,16,...
opsti clan je , ili za niz
1,
opsti clan je
Ako je poznat opsti clan niza onda se zamjenom vrijednosti n=1,2,... iz opsteg clana mogu odrediti clanovi niza.

Definicija 1.2. Za niz se kaze da raste,odnosno opada ako je
odnosno
Ako umjesto odnosno stoji odnosno za niz se kaze da strogo raste, odnosno strogo opada.Rastuce i opadajuce nizove zovemo monotonim nizovima.

Definicija 1.3. Za niz se kaze da je ogranicen, ogranicen odozdo, ogranicen odozgo ako je
skup ogarnicen,ogranicen odozdo,ogarnicen odozgo,respektivno.

Definicija 1.4. Za niz kazemo da ima infimum, odnosno supremum, ako postoji infinum
odnosno spremum skupa .