Konusni preseci

Maturski, seminarski i diplomski radovi iz matematike.

Pojam rastojanja u prostoru , dužine vektora i pojam ugla između dva vektora prostora baziraju se na pojmu skalarnog proizvoda. Pored navedenog definisaćemo i još neke karakteristike Euklidskog prostora.

Definicija 1. Pod skalarnim proizvodom vektora i u prostoru podrazumevamo realan broj
(1) .
Za skalarni proizvod često se koristi i oznaka .
Skalarni proizvod vektora u prostoru predstavlja realnu funkciju definisanu na Dekartovom proizvodu .
Osobine skalarnog proizvoda u prostoru navedene su u sledećem stavu.
Stav 1. Za proizvoljne vektore i za brojeve važe sledeće relacije:
(komutativnost skalarnog proizvoda);
i ako i samo ako je (pozitivna definitnost);
Osobina se naziva linearnost po prvom i po drugom argumentu, tj. bilinearnost skalarnog proizvoda vektora.
Definicija 2. Pod -dimenzionalnim realnim Euklidskim prostorom podrazumevamo -dimenzionalni realni vektorski prostor snabdeven skalarnim proizvodom (1).
Definicija 3. Za proizvoljan vektor nenegativan broj
naziva se normom ( ili dužinom ) vektora .
Za proizvoljne vektore je ispunjeno: . Ova osobina se naziva nejednakošću Koši-Švarc-Bunjakovskog.
Norma vektora u prostoru poseduje sledeće osobine:
ako i samo ako je , ili , ili za neko
Definicija 4. Za proizvoljne dve tačke , izraz
naziva se rastojanjem (ili Euklidskim rastojanjem) između tačaka i .
Posebno je dužina vektora .
Stav 2. Rastojanje u prostoru ima sledeće osobine:
i ako i samo ako je ;
, za proizvoljne tačke .
Svaka funkcija koja ima osobine iz prethodnog stava se naziva metrikom na prostoru . Euklidsko rastojanje je jedna metrika na prostoru .
Definicija 5. Vektor nazivamo jediničnim ( ili normiranim ), ako je .
Ako je proizvoljan nenula vektor prostora , tada se lako može videti da je vektor jedinični i kolinearan sa .
Definicija 6. Ugao određen relacijom , tj. sa
naziva se uglom između vektora i . On se obeležava sa θ =  (V, W)
Sledeća definicija uvodi pojam ortogonalnih vektora.
Definicija 7. Vektori prostora nazivaju se ortogonalnim ( ili normalnim ) ukoliko je .
Definicija 8. Vektori prostora su uzajamno ortogonalni ako je za bilo koja dva indeksa .
Sledeći stav se naziva Pitagorinom teoremom u prostoru .
Stav 3. Ako su i ortogonalni vektori u prostoru , tada važi jednakost
Uvešćemo pojam ortogonalne i ortonormirane baze prostora .
Definicija 9. Bilo koja baza prostora čiji su vektori uzajamno ortogonalni, tj. važi naziva se ortogonalnom bazom tog prostora.
Bilo koja baza prostora čiji su vektori jedinični i uzajamno ortogonalni, tj. važi
naziva se ortonorminanom bazom prostora .
Po analogiji sa realnim vektorskim prostorom , može se uvesti i odgovarajući kompleksan vektorski prostor .

1.2.Elementi spektralne teorije matrica

U ovom odeljku navešćemo definicije i stavove (bez dokaza) koji karakterišu opšte simetrične matrice. Najpre navodimo osnovni stav Algebre.
Stav 4. Svaki polinom
čiji su koeficijenti realni ili kompleksni brojevi, poseduje bar jednu kompleksnu nulu, tj. postoji kompleksan broj takav da je .
Svaki polinom može se prikazati u obliku ,
pri čemu su nule polinoma , tj.
gde su međusobno različite nule polinoma i se pojavljuje tačno puta, .
Neka je proizvoljna realna ili kompleksna kvadratna matrica reda .
Definicija 10. Polinom (1) naziva se karakterističnim polinomom matrice , a njegove nule sopstvenim vrednostima matrice . Skup svih sopstvenih vrednosti matrice naziva se spektrom matrice , i označava se sa .
Stav 5. Ako je realna kvadratna matrica (reda ), tada se njene sopstvene vrednosti javljaju u konjugovano kompleksnim parovima. Algebarske višestrukosti sopstvenih vrednosti su međusobno jednake.
Neka je A bilo koja kompleksna kvadratna matrica reda , i bilo koja sopstvena vrednost te matrice, dakle . Uočimo homogeni sistem linearnih jednačina reda :
(2) ,
pri čemu je . Ovaj sistem je neregularan, pa poseduje bar jedno netrivijalno rešenje .
Definicija 11. Svaki vektor koji zadovoljava sistem (2) , naziva se sopstvenim vektorom matrice , koji odgovara sopstvenoj vrednosti .
Skup svih vektora , koji zadovoljavaju relaciju (2) naziva se sopstvenim potprostorom koji odgovara sopstvenoj vrednosti . Ovaj potprostor označava se sa
, i predstavlja kompleksan potprostor prostora .
Definicija 12. Ako je sopstvena vrednost kvadratne matrice , tada se prirodan broj
naziva geometrijskom višestrukošću vrednosti .
Stav 6. Za svako važi nejednakost