Definicija geometrijskog reda

Maturski, seminarski i diplomski radovi iz matematike.

Čak su i stari antički matematičari poznavali geometrijski red,i primjenjivali ga u praksi. Tako je jedan od najvećih matematičara uopšte, Arhimed (287.-212. godina pre n.e.) bio jedan od prvih začetnika geometrijskog reda. On je razvio metodu da izvede konačni odgovor za beskonačno mnogo članova koji postaju progresivno manji. Te Aformule se danas koriste u modernijim oblicima za postizanje istih rezultata, ali s tačnijom metodom za dokazivanje. Koristio je precizne geometrijske postupke, što je i do danas ostalo neobjašnjeno i obavijeno velom misterije.
Njegova dostignuća su bila daleko iznad, kako njegovog, tako i našeg vremena.
Ne raspolaže se sa mnogo vjerodostojnih podataka o njegovom porijeklu i životu. Bio je sin astronoma, rođen u Sirakuzi, grčkom sjedištu na Siciliji. U Aleksandriji je učio matematičke nauke kod Euklidovih nasljednika i sklopio je poznanstva i prijateljstva sa mnogim naučnicima toga doba, sa kojima je vodio intezivnu prepisku o mnogim matematičkim problemima.
Arhimed je izračunao kao sumu geometrijskog reda.
Najveći odjek u razvoju matematike kao i ostalih nauka je bio XVII-XVIII vijek, doba renesanse, u kojem su sve grane nauka doživjele procvat. U tadašnje vrijeme glavni problem je bilo izračunavanje kvadrature kruga, koji je predstavljao jedan od tri čuvena problema grčke matematike. U vezi s tim je bilo i tačno određivanje vrijednosti broja ,tj. njegovo zaokruživanje na što više decimala.
Interesovanje za proučavanje tih problema,pokazivali su ne samo matematičari, već često i šira javnost. Čak je broj (netačnih) dokaza kvadrature kruga postao toliko veliki da je 1775. Pariška Akademija smatrala da je neophodno donijeti rezoluciju po kojoj neće pregledati više nijedno rjšenje. Svi su uz manje ili veće greške pokušavali doći do pravog rezultata,ali najdalje u tome je otišao James Gregory (1638-1675). Ovaj škotski naučnik je našao formulu :

Koja je jedna od najpoznatijih formula za izračunavanje vrijednosti , i često se greškom pripisuje Leibnizu (1646 - 1716). Ova formula je veoma važna jer izrazi sa desne strane su izrazi sasvim aritmetičkog karaktera, dok proizlazi iz geometrije.
Ali važnost ove formule je i pronalazak brojnog reda, bitnog za dalji napredak matematike.
Dakle, pronalazač brojnog reda je Škot, James Gregory.
Ali ovo vuče korijene iz doba Arhimeda koji je definisao pomoću beskonačnog niza mnogouglova u krugu. Znao je da ima vrijednost između
223/71 < < 22/7.
Znao je da nije jednako 22/7 i nije tvrdio da je otkrio tačnu vrijednost. Ako se uzme aritmetička sredina gornje i donje granice dobija se 3,1418, što daje grešku oko 0,0002. izračunato je čak do 500 cifara iza zareza.

PAMTILICA-ZANIMLJIVOST

Kratki stihovi ili upečatljive izreke ostaju u pamćenju duže nego brojevi, i zato se, radi pamćenja neke vrijednosti broja, sastavljaju naročiti stihovi ili pojedine rečenice. U takvim proizvodima “matematičke poezije” riječi se biraju tako da se broj slova u svakoj riječi podudara sa odgovarajućom cifrom broja .
Poznati su stihovi na engleskom jeziku od svega 13 riječi, koji prema tome daju 12 cifara poslije zareza, na njemačkom jeziku od 24 riječi, na francuskom od 30 riječi. Evo tih stihova:
na engleskom:
How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics. All of thy geometry, Herr Planck, is fairly hard . .
(Kako želim piće, nešto alkoholno, poslije teških predavanja iz kvantne mehanike, sva ta geometrija gospodine Plank. je najiskrenije preteška)
3,14159265358979323846264 . . .
na njemačkom:
Wie o dies
Macht ernstlich, so viele viele Müh’!
Lernt immerhin, Jünglige, leichte Verselein
Wie so zum Beispiel dies dürfte zu merken sein.

Ove izreke i nemaju smisla u prevodu, ali primarna funkcija ovih sentenci je pamćenje poretka cifara broja .

1.2. UVOD

Radi boljeg razumjevanja geometrijskog reda potrebno je objasniti njegovu osnovu, odnosno brojni niz.
Brojni niz predstavlja niz brojeva udređenih po određenom zakonu, koji nisu povezani nikakvim matematičkim operacijama.
Članovi niza se obilježavaju sa , gdje

predstavlja prvi član niza/reda, a broj u indesku predstavlja mjesto koje zauzima član u nekom nizu/redu.
je opšti člaan niza i na osnovu njega se može odrediti svaki član niza.
A niz je određen ako mu je poznat opšti član.
Nizovi se prema broju članova djele na
-beskonačne -beskonačan broj članova
-konačne -konačan broj članova
Nizovi mogu biti rastući i opadajući
-monotono rastući niz
-monotono opadajući niz
-strogo rastući niz
-strogo opadajući niz

U zavisnosti kako se vrši progresija u nekom nizu razlikuju se dvije vrst progresije (niza),a to su:
-aritmetički niz/progresija
-geometrijski niz/progresija

Ako se članovi niza povežu matematičkom operacijom sabiranja nastaju redovi. Redovi zadržavaju osobine nizova.