Banahova teorema o neprekidnoj tacki

Maturski, seminarski i diplomski radovi iz matematike.

Banahova teorema o nepokretnoj tački (takođe poznata kao teorema o kontrakcionom preslikavanju ili princip kontrakcionog preslikavanja) je važan alat u teoriji metričkih prostora; ona garantuje postojanje i jedinstvenost nepokretnih tačaka određenih preslikavanja iz nekog metričkog prostora u samog sebe, i daje konstruktivni metod za pronalaženje tih nepokretnih tačaka. Teorema je dobila ime po Stefanu Banahu, (1892. - 1945.), koji ju je i izrekao 1922. godine
Teorema glasi:

Neka je (X, d) neprazan kompletan metrički prostor. Neka je T : X → X kontrakcija na X, to jest: postoji nenegativan realan broj q < 1, takav da
za svako x, y iz X. Tada preslikavanje T ima jednu i samo jednu nepokretnu tačku x* у -{X (ovo znači da Tx* = x*). Štaviše, ta nepokretna tačka može da se nađe na sledeći način: pođe se od proizvoljnog elementa x0 iz X i definiše se iterativni niz, kao xn = Txn-1 za n = 1, 2, 3, ... ovaj niz konvergira, i limes mu je upravo x*. Sledeća nejednakost opisuje brzinu konvergencije:

Najmanja vrednost q se ponekad naziva Lipšicovom konstantom.
Valja uočiti da zahtev d(Tx, Ty) < d(x, y) za sve različite x i y u opštem slučaju nije dovoljan da osigura postojanje nepokretne tačke, kao što se vidi iz preslikavanja T : [1,∞) → [1,∞) sa T(x) = x + 1/x, koje nema nepokretnu tačku. Međutim, ako je prostor X kompaktan, onda i ova slabija pretpostavka implicira sve iskaze teoreme.
Kada se teorema koristi u praksi, obično je najteži deo da se definiše X na takav način da T zaista slika iz X u X, to jest da je Tx uvek element iz X.

SADRŽAJ
1 Uvod 2
2 Primene Banahove teoreme 8
3 Metrički prostori 11
3.1 Topologija metričkog prostora 12
3.2 Konvergencija niza u metričkom prostoru 13
3.3 Granična vrednost funkcije u metričkom prostoru 14
4 Hilbertovi prostori 15
5 Ortogonalnost prostora i uticaj Banahove teoreme 20
6 Literatura 25